《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

1.若$O$是四边形$ABCD$对角线的交点，且$OA = OB = OC = OD$，则四边形$ABCD$是矩形.

答案： 矩形

2.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是$4\ cm$，$5\ cm$，则它的面积是20$cm^2$.

答案： 20

3.如图所示，在矩形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 12$，点$P$在对角线$BD$上，且$BP = BA$.连接$AP$并延长，交$DC$的延长线于点$Q$，连接$BQ$，则$BQ =$$3\sqrt{17}$.

答案： $3\sqrt{17}$

4.如图所示，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 10$，以点$B$为圆心、$BC$的长为半径画弧，交$AD$于点$E$，再分别以点$C,E$为圆心、大于$\frac{1}{2}CE$的长为半径画弧，两弧交于点$F$，作射线$BF$交$CD$于点$G$，则$CG$的长为$\frac{10}{3}$.

答案： $\frac{10}{3}$

5.如图所示，$O$是矩形$ABCD$的对角线的交点，$DE // AC$，$CE // BD$.
(1)求证：$OE \perp DC$.
(2)若$\angle AOD = 120°$，$DE = 2$，求矩形$ABCD$的面积.
]

答案：
(1)证明:
∵$DE//AC$,$CE//BD$,
∴$DE//OC$,$CE//OD$,
∴四边形$ODEC$是平行四边形.
∵四边形$ABCD$是矩形,
∴$OD=OC$,
∴四边形$ODEC$是菱形,
∴$OE\perp DC$.
(2)解:
∵$DE=2$,由
(1)知,四边形$ODEC$是菱形,
∴$OD=OC=DE=2$.
∵$\angle AOD=120°$,
∴$\angle DOC=60°$,
∴$\triangle ODC$是等边三角形,
∴$DC=OD=OC=2$.
∵四边形$ABCD$是矩形,
∴$AC=2CO=4$.
在$Rt\triangle ADC$中,由勾股定理得$AD=2\sqrt{3}$,
∴$S_{矩形ABCD}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

6.如图所示，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$\angle ABC = \angle ADC = 90°$，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$DE$平分$\angle ADC$交$BC$于点$E$，连接$OE$.
(1)求证：四边形$ABCD$是矩形.
(2)若$\angle BDE = 15°$，求$\angle DOE$的度数.
(3)在(2)的条件下，若$AB = 2$，求$\bigtriangleup BOE$的面积.
]

答案： 1. （1）证明：
因为$AD// BC$，所以$\angle ABC+\angle BAD = 180^{\circ}$，$\angle ADC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$。
四边形$ABCD$的四个角都是直角，根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。
2. （2）
因为四边形$ABCD$是矩形，$DE$平分$\angle ADC$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle CDE=\angle CED = 45^{\circ}$，$CD = CE$。
已知$\angle BDE = 15^{\circ}$，则$\angle CDO=\angle CDE+\angle BDE=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}$。
因为矩形$ABCD$中$OD = OC$（矩形的对角线相等且互相平分），所以$\triangle OCD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），则$OC = CD$，$\angle DOC = 60^{\circ}$。
又因为$CD = CE$，所以$OC = CE$，$\angle COE=\angle CEO$。
$\angle OCE = 90^{\circ}-\angle OCD = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle COE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle OCE)=\frac{1}{2}(180 - 30)^{\circ}=75^{\circ}$。
所以$\angle DOE=\angle DOC+\angle COE=60^{\circ}+75^{\circ}=135^{\circ}$。
3. （3）
因为$\triangle OCD$是等边三角形，$AB = CD = 2$，所以$OC = CD = 2$，$BC=\sqrt{3}CD = 2\sqrt{3}$（在等边三角形$OCD$中，利用勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}$，$BD = 2OD$，$OD = CD$）。
因为$OC = CE = 2$，所以$BE=BC - CE=2\sqrt{3}-2$。
过$O$作$OF\perp BC$于$F$，因为$O$是$AC$中点（矩形对角线互相平分），$AB\perp BC$，所以$OF$是$\triangle ABC$的中位线，则$OF=\frac{1}{2}AB = 1$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle BOE}=\frac{1}{2}BE· OF$，把$BE = 2\sqrt{3}-2$，$OF = 1$代入可得：
$S_{\triangle BOE}=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}-2)×1=\sqrt{3}-1$。
综上，（1）得证；（2）$\angle DOE = 135^{\circ}$；（3）$S_{\triangle BOE}=\sqrt{3}-1$。