《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

1.若正方形$ABCD$的对角线$AC = 4$，则这个正方形的面积是8.

答案： 8

2.如图所示，在正方形$ABCD$的外侧，作等边三角形$ABE$，则$\angle DEB$的大小为$45^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$

3.如图所示，已知正方形$ABCD$的边长为$1$，连接$AC,BD.CE$平分$\angle ACD$交$BD$于点$E$，则$DE$的长为$\sqrt{2}-1$.
!!

答案： $\sqrt{2}-1$

4.如图所示，$E,F$是正方形$ABCD$的对角线$AC$上的两点.若$AC = 8,AE = CF = 2$，则四边形$BEDF$的周长是$8\sqrt{5}$.

答案： $8\sqrt{5}$

5.将五个边长都为$2cm$的正方形按如下图所示的方式摆放，点$A,B,C,D$分别是四个正方形的中心，则图中阴影部分的面积是4$cm^{2}$.
!!

答案： 4

6.如图所示，将正方形$OEFG$放在平面直角坐标系中，$O$是坐标原点.若点$E$的坐标为$(2,3)$，则点$F$的坐标为(-1,5).

答案： (-1,5)

7.如图所示，正方形$AEFG$的顶点$E,G$在正方形$ABCD$的边$AB,AD$上，连接$BF,DF$.
(1)求证：$BF = DF$.
(2)连接$CF$，请直接写出$BE:CF =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$和$AEFG$都是正方形，
∴$AB=AD,AE=AG=EF=FG,\angle BEF=\angle DGF=90^{\circ}$.
∵$BE=AB-AE,DG=AD-AG$,
∴$BE=DG$.
∴$\triangle BEF\cong\triangle DGF$.
∴$BF=DF$.
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$

8.如图所示，在正方形$ABCD$中，$P$为$BC$上一点，$Q$为$CD$上一点，$\angle PAQ$为$45^{\circ}$.求证：$PQ = BP + DQ$.

答案： 解：延长$CB$至$E$，使$BE = DQ$，连接$AE$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle ABC=\angle D = \angle BAD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADQ$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle ABE=\angle D = 90^{\circ}\\BE = DQ\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle ADQ$。
所以$\angle BAE=\angle DAQ$，$AE = AQ$。
因为$\angle PAQ = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAP+\angle DAQ=\angle BAD-\angle PAQ = 90^{\circ}- 45^{\circ}=45^{\circ}$。
又因为$\angle BAE=\angle DAQ$，所以$\angle BAP+\angle BAE=\angle PAE = 45^{\circ}$，即$\angle PAE=\angle PAQ$。
在$\triangle APE$和$\triangle APQ$中，$\begin{cases}AE = AQ\\\angle PAE=\angle PAQ\\AP = AP\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle APE\cong\triangle APQ$。
所以$PQ = PE$。
因为$PE=BP + BE$，$BE = DQ$，所以$PQ = BP + DQ$。
综上，$PQ = BP + DQ$得证。