《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线$y = \frac{2}{3}x^{2}$的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0).

答案： 向上
y轴
(0,0)

2. 如果将抛物线$y = x^{2} + 2$向下平移$1$个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是$y=x^{2}+1$.

答案： $y=x^{2}+1$

3. 抛物线$y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1$的开口向下，它的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,1).

答案： 向下
y轴
(0,1)

4. 对于二次函数$y = ax^{2}$，若当$x$由$1$增加到$2$时，函数值减少$4$，则常数$a$的值是$-\frac{4}{3}$.

答案： $-\frac{4}{3}$

5. 抛物线$y = ax^{2} + c$与$y = 3x^{2}$的形状相同，若其顶点坐标为$(0,1)$，则其表达式为$y=3x^{2}+1$或$y=-3x^{2}+1$.

答案： $y=3x^{2}+1$或$y=-3x^{2}+1$

6. 已知抛物线$y = mx^{2} + n$向下平移$2$个单位长度后，所得图象的函数表达式为$y = 3x^{2} - 1$，求$m,n$的值.

答案： 根据题意，向下平移2个单位长度，得出的新的抛物线为$ y=mx^{2}+n-2。$
∴m=3, n-2=-1。
∴m=3, n=1。

7. 已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$A( - 2, - 8)$.
(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)判断点$B( - 1, - 4)$是否在此抛物线上.
(3)求出此抛物线上纵坐标为$- 6$的点的坐标.

答案：
(1)把 A(-2,-8) 代入$ y=ax^{2}，$得$ -8=a×(-2)^{2}，$解得 a=-2，故所求函数表达式为$ y=-2x^{2}。$
(2)
∵$-4≠-2×(-1)^{2}，$
∴点 B(-1,-4) 不在此抛物线上。
(3)由$ -6=-2x^{2}，$得$ x^{2}=3，$
∴$x=±\sqrt{3}，$
∴纵坐标为 -6 的点有两个，它们分别是$ (-\sqrt{3},-6), (\sqrt{3},-6)。$

8. 如图所示，抛物线$y = ax^{2} + 2$与经过点$A(4,0)$，$B(0,6)$的直线在第一象限内相交于点$P$，且$\bigtriangleup AOP$的面积为$6$.
(1)求$a$的值.
(2)若将该抛物线向下平移$m$个单位长度后所得的抛物线经过点$A$，求$m$的值.

答案：
(1)
∵点 A(4,0)，点 B(0,6)，
∴OA=4，易得直线 AB 的表达式为$ y=-\frac{3}{2}x+6，$
∴$S_{△AOP}=\frac{1}{2}OA·y_{P}=\frac{1}{2}×4×y_{P}=6，$
∴$y_{P}=3，$
∴$-\frac{3}{2}x_{P}+6=3，$
∴$x_{P}=2，$
∴点 P(2,3)。又
∵点 P(2,3) 在抛物线$ y=ax^{2}+2 $上，
∴$3=2^{2}·a+2，$解得$ a=\frac{1}{4}。$
(2)由
(1)可设平移后的抛物线的表达式为$ y=\frac{1}{4}x^{2}+2-m，$将点 A(4,0) 代入$ y=\frac{1}{4}x^{2}+2-m，$得$ 0=\frac{1}{4}×4^{2}+2-m，$解得 m=6。