《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

21. 如图所示，抛物线$y=-\frac{3}{5}[(x-2)^{2}+n]$与$x$轴相交于点$A(m-2,0)$和点$B(2m+3,0)$(点$A$在点$B$的左侧)，与$y$轴交于点$C$，连接$BC$.
(1)求$m,n$的值.
(2)若$N$为抛物线上的一个动点，且位于直线$BC$的上方，连接$CN$，$BN$，求$\bigtriangleup NBC$面积的最大值.

答案： 解:
(1)$\because$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{5}[(x-2)^{2}+n]=-\frac{3}{5}(x-2)^{2}-\frac{3}{5}n$，
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=2$.
$\because$点$A$和点$B$关于直线$x=2$对称，
$\therefore \frac{(m-2)+(2m+3)}{2}=2$，解得$m=1$.
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(5,0)$.
把$A(-1,0)$代入$y=-\frac{3}{5}[(x-2)^{2}+n]$，
得$9+n=0$，解得$n=-9$，
$\therefore m=1$，$n=-9$.
(2)如图所示，过点$N$作$ND// y$轴交$BC$于点$D$.
由
(1)，得抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{5}[(x-2)^{2}-9]=-\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x+3$.
当$x=0$时，$y=3$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$.
设直线$BC$的表达式为$y=kx+b$，
把$B(5,0)$，$C(0,3)$代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}5k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{5},\\b=3.\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=-\frac{3}{5}x+3$.
设点$N$的坐标为$\left(x,-\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x+3\right)$，则点$D$的坐标为$\left(x,-\frac{3}{5}x+3\right)$，
$\therefore ND=-\frac{3}{5}x^{2}+\frac{12}{5}x+3-\left(-\frac{3}{5}x+3\right)=-\frac{3}{5}x^{2}+3x$，
$\therefore S_{\triangle NCB}=S_{\triangle NDC}+S_{\triangle NDB}=\frac{1}{2}×5× ND=\frac{5}{2}\left(-\frac{3}{5}x^{2}+3x\right)=-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{15}{2}x=-\frac{3}{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{75}{8}$.
当$x=\frac{5}{2}$时，$\triangle NBC$的面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$.