《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

20. 如图①所示，在$\bigtriangleup ABC$中，已知$AB = AC$，点$D,E,F$分别在$BC,AB,AC$上，$\angle EDF = \angle B$.
(1)求证：$DE · CD = DF · BE$.
(2)若$D$为$BC$的中点，如图②所示，连接$EF$，求证：$ED$平分$\angle BEF$.

答案： 证明：
(1)$\because AB=AC$,
$\therefore \angle B=\angle C$.
$\because \angle B+\angle BDE+\angle DEB=180°, \angle BDE+\angle EDF+\angle FDC=180°, \angle EDF=\angle B$,
$\therefore \angle FDC=\angle DEB$,
$\therefore \bigtriangleup BDE \backsim \bigtriangleup CFD$,
$\therefore \frac{DE}{DF}=\frac{BE}{CD}$, 即$DE· CD=DF· BE$.
(2)由
(1)，得$\bigtriangleup BDE \backsim \bigtriangleup CFD$,
$\therefore \frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$.
$\because D$为$BC$的中点，
$\therefore BD=CD, \therefore \frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$.
$\because \angle B=\angle EDF$,
$\therefore \bigtriangleup BDE \backsim \bigtriangleup DFE$,
$\therefore \angle BED=\angle DEF$,
$\therefore ED$平分$\angle BEF$.

21.【阅读与思考】
阅读以下材料，并按要求完成相
应的任务.
反比例函数是初中函数学习的
重要组成部分，它与物理、化学等学
科知识密切相关.函数本身又是一
种重要的数学思想，利用函数的思
想和方法可以加深对一些代数问题
的理解.现从反比例函数系数$k$的几何意义出发来探究反比例函数的一些
规律.
某数学学习小组在熟练掌握$k$
的几何意义的基础上又进行了深入
的探究后发现：如图①所示，以矩形$OCBA$的顶点$O$为坐标原点，射线$OA$为$x$轴的正半轴，射线$OC$为$y$轴的正半轴建立平面直角坐标系.若反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象交$BC$于点$E$，交$AB$于点$F$，当$CE =$$BE$时，$AF = BF$.在老师指导下，该学习小组进行了如下推理，证明了这
一结论是正确的.
证明：如图①所示，过点$E$作$EG\bot x$轴，垂足为$G$，过点$F$作$FH\bot y$轴，垂足为$H$.
根据$k$的几何意义，易知$S_{矩形OCEG} =$$S_{矩形OHFA} = |k|$.
$\because CE = BE$，
$\therefore S_{矩形OCEG} = S_{矩形GEBA} = \frac{1}{2}S_{矩形OCBA}$，
$\therefore S_{矩形OHFA} = \frac{1}{2}S_{矩形OCBA}$，

$\therefore AF = \frac{1}{2}AB$，即$AF = BF$.
【任务】
(1)如图①所示，已知$CE = BE$，若反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的系数$k =$$1$，则矩形$OCBA$的面积=2.
(2)该学习小组继续探究后发现，如图②所示，反比例函数$y = \frac{k}{x}$ $(x ＞ 0)$的图象交$BC$于点$E$，交$AB$于点$F$.若$CE = \frac{1}{2}BE$，则$AF =$
$\frac{1}{2}BF$.请帮助该学习小组完成
证明.
(3)如图③所示，反比例函数$y = \frac{1}{x}$ $(x ＞ 0)$的图象交$BC$于点$E$，交$AB$于点$F$.若$CE = \frac{1}{3}BE$，则图
中阴影部分(即四边形$OEBF$)的
面积=3.

答案：
(1)2
(2)证明：如图②，过点$E$作$EG\bot OA$于点$G$，过点$F$作$FH\bot OC$于点$H$.
根据$k$的几何意义，易知$S_{矩形OCEG}=S_{矩形OHFA}=|k|$.
$\because CE=\frac{1}{2}BE$,
$\therefore S_{矩形OCEG}=\frac{1}{2}S_{矩形GEBA}=\frac{1}{3}S_{矩形OCBA}$.
$\therefore S_{矩形OHFA}=\frac{1}{3}S_{矩形OCBA}$.
$\therefore AF=\frac{1}{3}AB, \therefore AF=\frac{1}{2}BF$.
(3)解：如图③所示，过点$E$作$EG\bot OA$于点$G$，过点$F$作$FH\bot OC$于点$H$.
根据$k$的几何意义，易知$S_{矩形OCEG}=S_{矩形OHFA}=1$.
$\because CE=\frac{1}{3}BE$,
$\therefore S_{矩形OCEG}=\frac{1}{3}S_{矩形GEBA}=\frac{1}{4}S_{矩形OCBA}$.
$\therefore S_{矩形OCBA}=4$.
$\because S_{\triangle AOF}=\frac{1}{2}S_{矩形OHFA}=\frac{1}{2}$,
$S_{\triangle COE}=\frac{1}{2}S_{矩形OCEG}=\frac{1}{2}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{矩形OCBA}-S_{\triangle COE}-S_{\triangle AOF}=3$.