《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册北师大版》

1.若抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$经过$(1,2)$和$( - 1, - 6)$两点，则$a + c =$-2.

答案： -2

2.当$x = \frac{3}{2}$时，二次函数有最小值$- \frac{1}{4}$，且函数的图象经过点$(0,2)$，则此二次函数的表达式为$y=x^{2}-3x+2$.

答案： $y=x^{2}-3x+2$

3.一个二次函数，当自变量$x = 0$时，函数值$y = - 1$，且函数图象经过点$( - 2,0)$和点$(\frac{1}{2},0)$，则此二次函数的表达式为$y=x^{2}+\frac{3}{2}x-1$.

答案： $y=x^{2}+\frac{3}{2}x-1$

4.二次函数$y = ax^{2} + bx + c$的图象与$x$轴交于点$A( - 3,0)$，对称轴为直线$x = - 1$，顶点$C$到$x$轴的距离为$2$，则此二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$或$y=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$.

答案： $y=-\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$或$y=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)$

5.已知抛物线的对称轴为直线$x = - 1$，其最高点的纵坐标为$4$.若该抛物线与$x$轴的两个交点之间的距离为$6$，求此抛物线的表达式.

答案： 解：根据题意，得顶点为$(-1,4)$，抛物线与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$，$(-4,0)$。设抛物线的表达式为$y=a(x+1)^{2}+4$。把点$(2,0)$代入上式，得$0=a(2+1)^{2}+4$，解得$a=-\frac{4}{9}$。$\therefore$此抛物线的表达式为$y=-\frac{4}{9}(x+1)^{2}+4$。

6.已知抛物线$y = ax^{2} + bx + 1$经过点$(1, - 2)$，$( - 2,13)$.
(1)求$a$，$b$的值.
(2)若$(5,y_{1})$，$(m,y_{2})$是抛物线上不同的两点，且$y_{2} = 12 - y_{1}$，求$m$的值.

答案： 解：
(1)把点$(1,-2)$，$(-2,13)$代入$y=ax^{2}+bx+1$中可求得$a=1$，$b=-4$。
(2)由
(1)得函数表达式为$y=x^{2}-4x+1$。把$x=5$代入$y=x^{2}-4x+1$，得$y_{1}=6$。$\therefore y_{2}=12-y_{1}=6$。$\because y_{1}=y_{2}$，且对称轴为直线$x=2$，$\therefore m=4-5=-1$。

7.已知顶点为$M$的抛物线$y = a(x + 1)^{2} - 4$分别与$x$轴相交于点$A$，$B$(点$A$在点$B$的右侧)，与$y$轴相交于点$C(0, - 3)$.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)判断$\bigtriangleup BCM$是否为直角三角形，并说明理由.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y=a(x+1)^{2}-4$与$y$轴相交于点$C(0,-3)$，$\therefore -3=a-4$，$\therefore a=1$，$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=(x+1)^{2}-4=x^{2}+2x-3$。
(2)$\triangle BCM$是直角三角形。理由如下：
由
(1)知抛物线的函数表达式为$y=(x+1)^{2}-4$，$\therefore M(-1,-4)$。令$y=0$，得$x^{2}+2x-3=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，$\therefore A(1,0)$，$B(-3,0)$，$\therefore BC^{2}=9+9=18$，$CM^{2}=1+1=2$，$BM^{2}=4+16=20$，$\therefore BC^{2}+CM^{2}=BM^{2}$，$\therefore \triangle BCM$是直角三角形。