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17. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0 $。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 若 $ \triangle ABC $ 的两边 $ AB $,$ AC $ 的长是这个方程的两个实数根,第三边 $ BC $ 的长为 $ 5 $。当 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形时,求实数 $ k $ 的值。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 若 $ \triangle ABC $ 的两边 $ AB $,$ AC $ 的长是这个方程的两个实数根,第三边 $ BC $ 的长为 $ 5 $。当 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形时,求实数 $ k $ 的值。
答案：
17.
(1)证明 因为一元二次方程为x²-(2k+1)x+k²+k=0,Δ=[-(2k+1)]²-4(k²+k)=1＞0,所以此方程有两个不相等的实数根.
(2)解 因为△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,由
(1)知,AB≠AC,△ABC第三边BC的长为5,且△ABC是等腰三角形,所以必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个解.将x=5代入方程x²-(2k+1)x+k²+k=0,25-5(2k+1)+k²+k=0,解得k=4或k=5.当k=4时,原方程为x²-9x+20=0,x₁=5,x₂=4,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;当k=5时,原方程为x²-11x+30=0,x₁=5,x₂=6,以5,5,6为边长能构成等腰三角形.(必须检验方程的另一个解大于0且小于10)故k的值为4或5.
(1)证明 因为一元二次方程为x²-(2k+1)x+k²+k=0,Δ=[-(2k+1)]²-4(k²+k)=1＞0,所以此方程有两个不相等的实数根.
(2)解 因为△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,由
(1)知,AB≠AC,△ABC第三边BC的长为5,且△ABC是等腰三角形,所以必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个解.将x=5代入方程x²-(2k+1)x+k²+k=0,25-5(2k+1)+k²+k=0,解得k=4或k=5.当k=4时,原方程为x²-9x+20=0,x₁=5,x₂=4,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;当k=5时,原方程为x²-11x+30=0,x₁=5,x₂=6,以5,5,6为边长能构成等腰三角形.(必须检验方程的另一个解大于0且小于10)故k的值为4或5.
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