《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

14. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = kx + 1的图象与反比例函数y= \frac{9}{x}的图象在第一象限相交于点A$,过点$A分别作x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为$B$,$C$。如果四边形$OBAC$是正方形,求一次函数的解析式。

答案： 解：
∵$S_{正方形OBAC}=OB^{2}=9$，
∴$OB = AB = 3$，即点$A$的坐标为$(3,3)$。
∵点$A$在一次函数$y = kx + 1$的图象上，
∴$3k + 1 = 3$，解得$k=\frac{2}{3}$。
∴一次函数的解析式是$y=\frac{2}{3}x + 1$。

15. 如图,科技小组准备用材料围建一个面积为$60m^{2}的矩形科技园ABCD$,其中一边$AB$靠墙,墙长为$12m$。设$AD的长为x m$,$DC的长为y m$。
(1)求$y与x$之间的函数解析式；
(2)若围成的矩形科技园$ABCD的三边材料总长不超过26m$,材料$AD和DC$的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案。

答案： 解：
(1)已知$AD$的长为$x m$，$DC$的长为$y m$，由题意，得$xy = 60$，即$y=\frac{60}{x}$。当$y = 12$时，$x = 5$。所以$x\geq5$。所以所求的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x\geq5)$。
(2)由$y=\frac{60}{x}$，且$x$，$y$都是正整数，$x$可取$5$，$6$，$10$，$12$，$15$，$20$，$30$，$60$。因为$2x + y\leq26$，$0＜y\leq12$，所以符合条件的有：当$x = 5$时，$y = 12$；当$x = 6$时，$y = 10$；当$x = 10$时，$y = 6$。故满足条件的围建方案有：$AD = 5m$，$DC = 12m$或$AD = 6m$，$DC = 10m$或$AD = 10m$，$DC = 6m$。