《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

16. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D在\odot O$上,点$E在\odot O$外,$\angle EAC = \angle D = 60^{\circ}$.
(1)求$\angle ABC$的度数；
(2)求证：$AE是\odot O$的切线；
(3)当$BC = 4$时,求劣弧$AC$的长.

答案：

(1)因为$\angle ABC$与$\angle D$都是弧$AC$所对的圆周角，所以$\angle ABC=\angle D = 60^{\circ}$.
(2)证明 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$.
所以$\angle BAC = 30^{\circ}$.
所以$\angle BAE=\angle BAC+\angle EAC = 30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$，即$BA\perp AE$.
所以$AE$是$\odot O$的切线.
(3)如图，连接$OC$，

因为$OB = OC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
所以$\triangle OBC$是等边三角形.
所以$OB = BC = 4$，$\angle BOC = 60^{\circ}$.
所以$\angle AOC = 120^{\circ}$.
所以劣弧$AC$的长为$\dfrac{120×\pi×4}{180}=\dfrac{8\pi}{3}$.

17. 如图,$\odot O的弦AD // BC$,过点$D的切线交BC的延长线于点E$,$AC // DE$,$AC交BD于点H$,$DO及延长线分别交AC$,$BC于点G$,$F$.
(1)求证：$DF垂直且平分AC$；
(2)求证：$FC = CE$；
(3)若弦$AD = 5cm$,$AC = 8cm$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)证明 因为$DE$是$\odot O$的切线，且$DF$过圆心$O$，所以$DF\perp DE$.
又因为$AC// DE$，所以$DF\perp AC$.
所以$DF$垂直且平分$AC$.
(2)证明 由
(1)知$AG = GC$.
又因为$AD// BC$，所以$\angle DAG = \angle FCG$.
又因为$\angle AGD = \angle CGF$，所以$\triangle AGD\cong\triangle CGF$.
所以$AD = FC$.因为$AD// BC$，且$AC// DE$，
所以四边形$ACED$是平行四边形.
所以$AD = CE$.所以$FC = CE$.
(3)解 连接$AO$.
因为$AG = GC$，$AC = 8cm$，所以$AG = 4cm$.
在$Rt\triangle AGD$中，由勾股定理，得$GD=\sqrt{AD^{2}-AG^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3(cm)$.
设圆的半径为$rcm$，则$AO = rcm$，$OG=(r - 3)cm$.
在$Rt\triangle AOG$中，由勾股定理，得$AO^{2}=OG^{2}+AG^{2}$.
有$r^{2}=(r - 3)^{2}+4^{2}$，解得$r=\dfrac{25}{6}$.
所以$\odot O$的半径为$\dfrac{25}{6}cm$.