《2025年初中同步测控优化设计九年级数学全一册人教版》

17. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AC $ 平分 $ \angle DAB $,$ \angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ} $,$ E $ 为 $ AB $ 的中点.

(1) 求证：$ AC^2 = AB \cdot AD $；
(2) 求证：$ CE // AD $；
(3) 若 $ AD = 4 $,$ AB = 6 $,求 $ \frac{AC}{AF} $ 的值.

答案：
(1)证明
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.又∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$,
∴AC²=AB·AD.
(2)证明
∵E为AB的中点,
∴$CE=\frac{1}{2}AB=AE$,∠EAC=∠ECA.
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAD=∠CAB.
∴∠DAC=∠ECA.
∴CE//AD.
(3)解
∵CE//AD,
∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF,
∴△AFD∽△CFE,
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$.
∵$CE=\frac{1}{2}AB$,
∴$CE=\frac{1}{2}×6=3$.又AD=4,由$\frac{AD}{CE}=\frac{AF}{CF}$,得$\frac{4}{3}=\frac{AF}{CF}$,
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{7}$,
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{7}{4}$.