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15. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x - k = 0 $ 有两个不相等的实数根。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围；
(2) 请选择一个 $ k $ 的负整数值,并求出方程的根。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围；
(2) 请选择一个 $ k $ 的负整数值,并求出方程的根。
答案：
1. （1）
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-3x - k = 0$中，$a = 1$，$b=-3$，$c=-k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$。
即$\Delta=(-3)^{2}-4×1×(-k)＞0$。
展开式子得$9 + 4k＞0$。
移项可得$4k＞-9$。
两边同时除以$4$，解得$k＞-\frac{9}{4}$。
2. （2）
解：因为$k$是负整数且$k＞-\frac{9}{4}$，所以取$k=-2$。
则原方程为$x^{2}-3x + 2 = 0$。
对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式得$(x - 1)(x - 2)=0$。
则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
综上，（1）$k$的取值范围是$k＞-\frac{9}{4}$；（2）当$k = - 2$时，方程的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-3x - k = 0$中，$a = 1$，$b=-3$，$c=-k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$。
即$\Delta=(-3)^{2}-4×1×(-k)＞0$。
展开式子得$9 + 4k＞0$。
移项可得$4k＞-9$。
两边同时除以$4$，解得$k＞-\frac{9}{4}$。
2. （2）
解：因为$k$是负整数且$k＞-\frac{9}{4}$，所以取$k=-2$。
则原方程为$x^{2}-3x + 2 = 0$。
对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式得$(x - 1)(x - 2)=0$。
则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
综上，（1）$k$的取值范围是$k＞-\frac{9}{4}$；（2）当$k = - 2$时，方程的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
16. 某菜农种植的某蔬菜计划以 $ 5 $ 元/千克的价格对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销。该菜农为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以 $ 3.2 $ 元/千克的价格对外批发销售。
(1) 求平均每次下调的百分率；
(2) 小华准备到该菜农处购买 $ 5 $ 吨该蔬菜,因数量多,该菜农决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折,每吨优惠现金 $ 200 $ 元。
试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由。
(1) 求平均每次下调的百分率；
(2) 小华准备到该菜农处购买 $ 5 $ 吨该蔬菜,因数量多,该菜农决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折,每吨优惠现金 $ 200 $ 元。
试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由。
答案：
16.解
(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)²=3.2.解这个方程,得x₁=0.2,x₂=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x₂=1.8不符合题意,符合题目要求的是x₁=0.2=20%.答:平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠.理由:方案一所需费用为3.2×0.9×5000=14400(元),方案二所需费用为3.2×5000-200×5=15000(元).因为14400＜15000,所以小华选择方案一购买更优惠.
(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)²=3.2.解这个方程,得x₁=0.2,x₂=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x₂=1.8不符合题意,符合题目要求的是x₁=0.2=20%.答:平均每次下调的百分率是20%.
(2)小华选择方案一购买更优惠.理由:方案一所需费用为3.2×0.9×5000=14400(元),方案二所需费用为3.2×5000-200×5=15000(元).因为14400＜15000,所以小华选择方案一购买更优惠.
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