《2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级理综》

1. 如图 1, 正方形 $ABCD$ 的边 $AB$, $AD$ 分别在等腰直角 $\triangle AEF$ 的腰 $AE$, $AF$ 上, 点 $C$ 在 $\triangle AEF$ 内.


(1) 求证: $DF = BE$;
(2) 如图 2, 若将正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一定角度 $\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ})$, 连接 $BE$, $DF$, 这时 $DF = BE$ 还成立吗? 请说明理由.
思路点拨: 在第 (2) 小题中, 由旋转性知 $\angle FAD = \angle EAB$, 故可以证得 $\triangle ADF \cong \triangle ABE$.

答案：
(1) 证明:
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
∴ $AD = AB$. 又
∵ $AF = AE$,
∴ $AF - AD = AE - AB$, 即 $DF = BE$.
(2) 解: $DF = BE$ 成立. 理由如下:
∵ 在正方形 $ABCD$ 和等腰直角 $\triangle AEF$ 中,
∴ $AB = AD$, $AF = AE$.
∵ $\angle FAE = \angle DAB = 90^{\circ}$,
∴ $\angle FAD = \angle EAB$.
在 $\triangle ADF$ 和 $\triangle ABE$ 中, $\left\{\begin{array}{l}AD = AB,\\\angle FAD = \angle EAB,\\AF = AE,\end{array}\right.$
∴ $\triangle ADF \cong \triangle ABE(SAS)$.
∴ $DF = BE$.