《2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级数学》

整体代入 便利求值
【提出问题】已知$\sqrt {x}-\frac {1}{\sqrt {x}}= 2$,求$\sqrt {x^{2}+\frac {1}{x^{2}}+14}$的值。

答案：

【探究问题】小明是这样思考的：先将已知等式的两边同时平方,求出$x+\frac {1}{x}$的值,再将$x+\frac {1}{x}$视为整体,并用含$x+\frac {1}{x}的代数式表示x^{2}+\frac {1}{x^{2}}$。故将$\sqrt {x}-\frac {1}{\sqrt {x}}= 2$两边平方得：$x+\frac {1}{x}-2= 4$,$x+\frac {1}{x}= 6$。
∴原式$=\sqrt {(x+\frac {1}{x})^{2}+12}= \sqrt {6^{2}+12}= \sqrt {48}= 4\sqrt {3}$。

【方法归纳】整体代换思想的核心就是把所研究的对象的一部分或全部视为一个整体运用在解题过程中。用这种思想解题时,要把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,从而触及问题的本质,避开不必要的计算,使问题得以简化。在关于二次根式的化简求值问题中,当求解已知条件中所含未知数比较困难时,可考虑已知条件与所求代数式之间的联系,运用整体代换思想求解,以简化运算。

14. (★★★★☆)已知$x= 3+2\sqrt {2}$,$y= 3-2\sqrt {2}$,求$\frac {x}{y}+\frac {y}{x}-4$的值。
30

答案： 解：
∵ $ x = 3 + 2\sqrt{2} $，$ y = 3 - 2\sqrt{2} $，
∴ $ x + y = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6 $，
$ xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1 $。
$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 4 = \frac{x^2 + y^2}{xy} - 4 = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} - 4 $。
将 $ x + y = 6 $，$ xy = 1 $ 代入上式：
原式 $ = \frac{6^2 - 2 × 1}{1} - 4 = (36 - 2) - 4 = 34 - 4 = 30 $。
答案：30

15. (★★★★☆)已知$a+\frac {1}{a}= \sqrt {10}$,求$a-\frac {1}{a}$的值。

答案： 解：
∵$a + \frac{1}{a} = \sqrt{10}$，
∴$\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = (\sqrt{10})^2$，
即$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 10$，
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 10$，
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 8$。
∵$\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$，
∴$\left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 8 - 2 = 6$，
∴$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{6}$。
答案：$\pm\sqrt{6}$