《2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级数学》

蚂蚁和大象的重量相等？
师：同学们,天下竟有这样的奇事,你们信不信？
生：……
师：蚂蚁和大象的重量相等！
生：啊？
师：大家肯定和我的想法一样,即使是最大的蚂蚁与最小的大象,它们的重量也不是一个数量级的,但下面的推导确实会让你们感受到蚂蚁和大象一样重！
解：设蚂蚁的体重为 $ x $,大象的体重为 $ y $,且 $ x + y = 2a $。
两边同乘 $ (x - y) $,得 $ (x + y)(x - y) = 2a(x - y) $,即 $ x^{2} - 2ax = y^{2} - 2ay $。
两边再同时加上 $ a^{2} $,得 $ (x - a)^{2} = (y - a)^{2} $,即 $ \sqrt{(x - a)^{2}} = \sqrt{(y - a)^{2}} $。
由此可得：推导过程中开平方后未考虑绝对值，忽略了$x - a = -(y - a)$的情况，导致错误结论$ x - a = y - a $,
$ \therefore x = y $。
师：这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论,岂不荒唐！那么,问题究竟出在哪儿呢？谁能找出来？

答案： 【解析】：在推导过程中，由$(x - a)^{2} = (y - a)^{2}$开平方得出$x - a = y - a$这一步存在错误。因为一个数的平方等于另一个数的平方，这两个数可能相等，也可能互为相反数，即$\sqrt{(x - a)^{2}} = \sqrt{(y - a)^{2}}$应得出$|x - a| = |y - a|$，所以$x - a = y - a$或$x - a = -(y - a)$。已知蚂蚁体重$x$远小于大象体重$y$，且$x + y = 2a$，则$a = \frac{x + y}{2}$，$x - a = x - \frac{x + y}{2} = \frac{x - y}{2}$，$y - a = y - \frac{x + y}{2} = \frac{y - x}{2}$，显然$x - a = -(y - a)$，而非$x - a = y - a$，所以不能得出$x = y$。
【答案】：推导过程中开平方后未考虑绝对值，忽略了$x - a = -(y - a)$的情况，导致错误结论。

1. (★☆☆☆☆)下列各式一定是二次根式的是(C)
A.$ \sqrt{x - 1} $
B.$ \sqrt{-3} $
C.$ \sqrt{4} $
D.$ \sqrt{a} $

答案： C

2. (★☆☆☆☆)使 $ \sqrt{x - 1} $ 有意义的 $ x $ 的取值范围是(B)
A.$ x \neq 1 $
B.$ x \geq 1 $
C.$ x ＞ 1 $
D.$ x \geq 0 $

答案： B