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2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级数学
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14.(★★★★☆)在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 4,BC= 3,∠A,∠B,∠C$三个角的平分线相交于点O,试求点O到三边的距离.
1
答案：
解：设点O到三边的距离为$r$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
因为点O是$\triangle ABC$三条角平分线的交点，
所以点O到三边的距离相等，均为$r$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
又因为$\triangle ABC$的面积还可表示为$\triangle AOB$、$\triangle BOC$、$\triangle AOC$的面积之和，
即$\frac{1}{2}× AB× r+\frac{1}{2}× BC× r+\frac{1}{2}× AC× r$，
所以$\frac{1}{2}×(AB + BC + AC)× r=6$，
即$\frac{1}{2}×(5 + 3 + 4)× r=6$，
$6r=6$，解得$r = 1$。
答：点O到三边的距离为1。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
因为点O是$\triangle ABC$三条角平分线的交点，
所以点O到三边的距离相等，均为$r$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
又因为$\triangle ABC$的面积还可表示为$\triangle AOB$、$\triangle BOC$、$\triangle AOC$的面积之和，
即$\frac{1}{2}× AB× r+\frac{1}{2}× BC× r+\frac{1}{2}× AC× r$，
所以$\frac{1}{2}×(AB + BC + AC)× r=6$，
即$\frac{1}{2}×(5 + 3 + 4)× r=6$，
$6r=6$，解得$r = 1$。
答：点O到三边的距离为1。
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