《2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级数学》

利用非负性理解其实质
【提出问题】化简下列两个式子：(1) $ \sqrt{x^{2} - 2x + 1} $；(2) $ \sqrt{x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{x^{2} + 2x + 1} $。

答案：

【探究问题】化简上面两式需要用到公式 $ \sqrt{a^{2}} = |a| $。因为上面两个式子中,$ x $ 的取值范围是未知的,因此应对 $ x $ 的取值范围进行讨论。

(1) $ \because \sqrt{x^{2} - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^{2}} = |x - 1| $,

$ \therefore $ ①当 $ x ＞ 1 $ 时,原式 $ = x - 1 $；②当 $ x = 1 $ 时,原式 $ = 0 $；③当 $ x ＜ 1 $ 时,原式 $ = 1 - x $。

(2) $ \because \sqrt{x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{x^{2} + 2x + 1} = |x - 1| + |x + 1| $,

$ \therefore $ ①当 $ x ＜ -1 $ 时,原式 $ = 1 - x - (x + 1) = -2x $；②当 $ -1 \leq x ＜ 1 $ 时,原式 $ = 1 - x + x + 1 = 2 $；③当 $ x \geq 1 $ 时,原式 $ = x - 1 + x + 1 = 2x $。

【方法归纳】在对 $ \sqrt{a^{2}} $ 进行化简时,由于 $ a $ 的取值范围是任意实数,要先得到 $ \sqrt{a^{2}} = |a| $,再根据 $ a $ 的取值范围进行讨论,而不能误认为 $ \sqrt{a^{2}} = a $。本例中
(1)小题易错解为 $ \sqrt{(x - 1)^{2}} = x - 1 $,其原因是忽略了 $ \sqrt{a^{2}} = a $ 的前提条件是 $ a \geq 0 $。因为 $ \sqrt{a^{2}} $ 表示 $ a^{2} $ 的算术平方根,故 $ \sqrt{a^{2}} $ 是非负数。而当 $ a ＜ 0 $ 时,$ \sqrt{a^{2}} $ 就不能等于 $ a $ 了,应是 $ -a $。因此在应用公式化简 $ \sqrt{a^{2}} $ 时,利用算术平方根的非负性,才能理解其实质。

14. (★★★★☆)已知三角形的两边长分别为 2 和 4,第三边长为 $ x $,化简：$ \sqrt{x^{2} - 4x + 4} - \sqrt{\frac{1}{4}x^{2} - 3x + 9} $。
思路点拨：先根据三角形的三边关系求出 $ x $ 的取值范围,再利用 $ \sqrt{a^{2}} = |a| $ 进行化简计算。

答案： 解：由三角形三边关系得 $4 - 2 ＜ x ＜ 4 + 2$，即 $2 ＜ x ＜ 6$。
$\sqrt{x^{2} - 4x + 4} - \sqrt{\frac{1}{4}x^{2} - 3x + 9}$
$=\sqrt{(x - 2)^2} - \sqrt{\left(\frac{1}{2}x - 3\right)^2}$
因为 $2 ＜ x ＜ 6$，所以 $x - 2 ＞ 0$，$\frac{1}{2}x - 3$ 当 $x ＜ 6$ 时为负，即 $\frac{1}{2}x - 3 ＜ 0$。
则原式 $= (x - 2) - \left[-\left(\frac{1}{2}x - 3\right)\right]$
$= x - 2 + \frac{1}{2}x - 3$
$= \frac{3}{2}x - 5$
答案：$\frac{3}{2}x - 5$