《2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级数学》

14.(★★★★☆)如图,一次函数 $ y = -\frac{2}{3}x + 2 $ 的图象分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B,以线段AB 为边在第一象限内作等腰 $ \text{Rt} \triangle ABC $,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,求过 B,C 两点的直线的解析式.

$y = \frac{1}{5}x + 2$

答案： 解：对于一次函数$y=-\frac{2}{3}x + 2$，
令$y=0$，则$-\frac{2}{3}x + 2=0$，解得$x=3$，所以$A(3,0)$；
令$x=0$，则$y=2$，所以$B(0,2)$。
设$C(m,n)$，因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC=90^{\circ}$，所以$AB=AC$，且$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$。
$\overrightarrow{AB}=(-3,2)$，$\overrightarrow{AC}=(m - 3,n)$，
则$\begin{cases} (-3)^2 + 2^2=(m - 3)^2 + n^2 \\ -3(m - 3) + 2n=0 \end{cases}$，
即$\begin{cases} 13=(m - 3)^2 + n^2 \\ -3m + 9 + 2n=0 \end{cases}$，
由第二个方程得$n=\frac{3m - 9}{2}$，代入第一个方程：
$(m - 3)^2 + (\frac{3m - 9}{2})^2=13$，
$(m - 3)^2 + \frac{9(m - 3)^2}{4}=13$，
$\frac{13(m - 3)^2}{4}=13$，
$(m - 3)^2=4$，
$m - 3=\pm2$，
因为$C$在第一象限，$m＞0$，$n＞0$，
当$m - 3=2$时，$m=5$，$n=\frac{15 - 9}{2}=3$；
当$m - 3=-2$时，$m=1$，$n=\frac{3 - 9}{2}=-3$（舍去），所以$C(5,3)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx + b$，把$B(0,2)$，$C(5,3)$代入：
$\begin{cases} b=2 \\ 5k + b=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\frac{1}{5} \\ b=2 \end{cases}$，
所以直线$BC$的解析式为$y=\frac{1}{5}x + 2$。
答案：$y = \frac{1}{5}x + 2$