《2025年七彩假日快乐假期暑假作业八年级数学》

3. 已知$a= \frac {1}{4}$,求代数式$2a-\sqrt {a^{2}-a+\frac {1}{4}}$的值。
错解：$2a-\sqrt {a^{2}-a+\frac {1}{4}}= 2a-\sqrt {(a-\frac {1}{2})^{2}}= 2a-(a-\frac {1}{2})= a+\frac {1}{2}= \frac {1}{4}+\frac {1}{2}= \frac {3}{4}$。
剖析：解题时对公式$\sqrt {a^{2}}= |a|= \left\{\begin{array}{l} a(a≥0)\\ -a(a＜0)\end{array} \right.$中的适用条件未能把握好,导致得出$\sqrt {(a-\frac {1}{2})^{2}}= a-\frac {1}{2}$的错误结果。
正确答案：$\frac{1}{4}$

答案： 解：原式$=2a - \sqrt{a^{2} - a + \frac{1}{4}}$
$=2a - \sqrt{(a - \frac{1}{2})^{2}}$
因为$a = \frac{1}{4}$，所以$a - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} ＜ 0$
则$\sqrt{(a - \frac{1}{2})^{2}} = \frac{1}{2} - a$
所以原式$=2a - (\frac{1}{2} - a)$
$=2a - \frac{1}{2} + a$
$=3a - \frac{1}{2}$
将$a = \frac{1}{4}$代入得：$3×\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$

4. 把根号外的因式移到根号内：$(x-y)\sqrt {\frac {1}{y-x}}$。
错解：$(x-y)\sqrt {\frac {1}{y-x}}= \sqrt {\frac {(x-y)^{2}}{y-x}}= \sqrt {y-x}$。
剖析：产生错误的原因在于误把$x-y$当成了正数。事实上由二次根式意义可知,本题具有隐含条件$y-x＞0$,即$x-y＜0$。此时等式左边是负值,右边是正值,故等式不成立。
正确答案：$-\sqrt{y - x}$

答案： 解：由二次根式意义得$y - x ＞ 0$，即$x - y ＜ 0$。
原式$=(x - y)\sqrt{\frac{1}{y - x}} = - (y - x)\sqrt{\frac{1}{y - x}} = -\sqrt{(y - x)^2 \cdot \frac{1}{y - x}} = -\sqrt{y - x}$。