《2025年5年中考3年模拟七年级数学上册北师大版》

11.「2023 湖南衡阳衡东期末」下列平面图形沿虚线旋转一周,可以得到如图所示的几何体的是( )
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答案： D 观察四个选项,只有D项符合题意,故选D.

12.「2025 山西太原期中」如图,已知长方形的长为 a,宽为 b(其中 a＞b),将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周,得到两个圆柱甲、乙,则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为( )


A.甲、乙的侧面积相同,体积不相同
B.甲、乙的侧面积相同,体积也相同
C.甲、乙的侧面积不相同,体积相同
D.甲、乙的侧面积不相同,体积也不相同

答案： A 甲圆柱的底面直径是2b,高是a,则侧面积为2πab,体积为πab²,
乙圆柱的底面直径是2a,高是b,则侧面积为2πab,体积为πba²,
故甲、乙的侧面积相同,体积不相同.故选A.

13.「2025 陕西渭南蒲城期中」已知一个直棱柱,它有 27 条棱,其中一条侧棱长为 20,底面各边长都为 5.
(1)这个棱柱是几棱柱？
(2)它有多少个面？多少个顶点？
(3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？

答案： 解析
(1)直棱柱有27条棱,则这个棱柱是九棱柱.
(2)这个九棱柱有11个面,有18个顶点.
(3)这个棱柱的所有侧面的面积之和是9×5×20=900.
规律总结 棱柱的有关规律
(1)n棱柱的顶点数是2n(n的2倍),棱数是3n,面数是n+2.
(2)n棱柱的顶点数、面数与棱数存在下面的关系:顶点数+面数-棱数=2.

14.如图所示,已知直角三角形纸板 ABC,直角边 AB= 4cm,BC= 8cm.
(1)将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周,能得到______种大小不同的几何体.
(2)分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周,得到的几何体的体积？(圆锥的体积= $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$,其中$\pi$取 3)
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答案： 解析
(1)3.
(2)易知绕三角形直角边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥.以AB所在直线为轴:$\frac{1}{3}×3×8^{2}×4=\frac{1}{3}×3×64×4=256\ \text{cm}^3$.
以BC所在直线为轴:$\frac{1}{3}×3×4^{2}×8=\frac{1}{3}×3×16×8=128\ \text{cm}^3$.
答:以AB所在直线为轴旋转一周得到的圆锥的体积是256 cm³,以BC所在直线为轴旋转一周得到的圆锥的体积是128 cm³.
易错警示 忽略旋转轴的不同情况而致错
将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周,注意有三种情况,分别为绕两直角边及斜边旋转.计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周得到的圆锥的体积时,要注意分清半径与高.

15.「2024 湖南衡阳衡山期末」如图,观察下列几何体并回答问题.

(1)请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出 n 棱柱有______个面,______条棱,______个顶点,n 棱锥有______个面,______条棱,______个顶点.
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上的多边形所围成的立体图形叫作多面体,经过前人们归纳总结发现,多面体的面数 F、顶点个数 V 以及棱的条数 E 存在着一定的关系,请根据(1)直接写出这个关系.

答案： 解析
(1)n棱柱有(n+2)个面,3n条棱,2n个顶点,n棱锥有(n+1)个面,2n条棱,(n+1)个顶点.
(2)V+F-E=2.