《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

9. [ ]如图,$△ABC和△DEF的面积分别为S_{1},$ $S_{2}$,则 ( )


A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}＜S_{2}$
C.$S_{1}= S_{2}$
D.无法确定

答案：
C　如图1，过点A作AG⊥BC于G；在Rt△ABG中，AG =AB·sin40°=5sin40°，
∴S₁=$\frac{1}{2}$BC·AG=$\frac{1}{2}$×8×5sin40°=20sin40°。
如图2，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于H。在Rt△DHE中，∠DEH=180° - ∠DEF=40°，
∴DH=DE·sin∠DEH=8sin40°，
∴S₂=$\frac{1}{2}$EF·DH=$\frac{1}{2}$×5×8sin40°=20sin40°，
∴S₁=S₂。故选C。

10. [2023 湖北武汉中考, ]如图,将$45^{\circ }的∠AOB$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点 O 与尺下沿的端点重合,OA 与尺下沿重合,OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2 cm,若按相同的方式将$37^{\circ }的∠AOC$放置在该刻度尺上,则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约是 _ cm(结果精确到 0.1 cm,参考数据: $sin37^{\circ }\approx 0.60,cos37^{\circ }\approx 0.80,tan37^{\circ }\approx 0.75).$

答案：
答案　2.7
解析　如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
∴BD=OD=2cm，
∴CE=2cm。在△OCE中∠COE =37°，∠CEO=90°，
∴tan37°=$\frac{CE}{OE}$≈0.75，
∴OE≈2.7cm，即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7cm。

11. [2023 安徽怀远期末, ]如图,在$Rt△ABC$中, $∠ACB= 90^{\circ }$,AD 平分$∠BAC$交 BC 边于点 D, $DE⊥AB$于点 E,若$BD= 5,cosB= \frac {4}{5}$,求 AC 的长.

答案： 解析　在Rt△BDE中，cosB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∵BD=5，
∴BE=4，
∴DE=$\sqrt{BD² - BE²}$=$\sqrt{5² - 4²}$=3。
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=3，
∴BC=5 + 3=8。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{8}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AB=10，
∴AC=$\sqrt{10² - 8²}$=6。

12. [2024 山东潍坊期中, ]如图,在$△ABC$中,$∠B$ $=60^{\circ },∠BAC= 75^{\circ },AB= 2$.点 D 在 BC 的延长线上,且$CD= CA$,连接 AD.
(1)求 BC 的长.
(2)求$tanD$的值.

答案：
解析　
(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B=60°，∠AEB=90°，AB=2，
∴BE=AB·cosB=1，AE=AB·sinB=$\sqrt{3}$。
∵在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，
∴∠ACB=180° - ∠B - ∠BAC=45°。在Rt△ACE中，CE=$\frac{AE}{tan∠ACE}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=BE + CE=1 + $\sqrt{3}$。

(2)在Rt△AEC中AC=$\frac{AE}{sin∠ACE}$=$\sqrt{6}$，
∴AC=CD=$\sqrt{6}$，
∴DE=CE + CD=$\sqrt{3}$ + $\sqrt{6}$。在Rt△AED中，tanD=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$=$\sqrt{2}$ - 1。

13. [2024 安徽蚌埠二模, ]如图,在四边形 ABCD 中,$∠DAB= 90^{\circ },∠ADC= 120^{\circ },∠ABC= 70^{\circ },$ $BC= 80,CD= 100$,求 AB 的长.(结果取整数, 参考数据：$sin20^{\circ }\approx 0.34,cos20^{\circ }\approx 0.94,\sqrt {3}\approx $ 1.732)

答案： 解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F。
在Rt△CDF中，∠CDF=180°-∠ADC=60°，CD=100，
CF=CD·sin60°=100×(√3/2)=50√3≈86.6，
DF=CD·cos60°=100×0.5=50。
在Rt△BCE中，∠BCE=90°-∠ABC=20°，BC=80，
CE=BC·cos20°≈80×0.94=75.2，
BE=BC·sin20°≈80×0.34=27.2。
EF=CF-CE≈86.6-75.2=11.4。
∵∠DAB=∠AFD=∠AEF=90°，
∴四边形ADFE为矩形，
∴AB=AE+BE=DF+BE≈50+27.2=77.2≈77。
答：AB的长约为77。