《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

8. 「2025 安徽安庆怀宁黄墩中学月考」已知二次函数 $ y = -x^{2} + 2x + 4 $,当 $ -1 \leq x \leq 4 $ 时,求 $ y $ 的取值范围。

答案： 8.解析
∵y=-x²+2x+4=-(x-1)²+5,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,开口向下,离对称轴越远的点对应的函数值越小,在-1≤x≤4中,当x=1时,函数取得最大值,最大值为5;当x=4时,函数取得最小值,最小值为-(4-1)²+5=-4,
∴y的取值范围为-4≤y≤5.

9. 「2025 安徽淮南洞山中学月考」已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (5,0) $,$ (0,-5) $。
(1)求此二次函数的表达式。
(2)当 $ 0 \leq x \leq 5 $ 时,求此函数的最小值与最大值。

答案： 9.解析
(1)
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(-1,0),(5,0),(0,-5),
∴$\begin{cases}a-b+c=0, \\25a+5b+c=0, \\c=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=-4, \\c=-5,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-5.
(2)
∵y=x²-4x-5=(x-2)²-9,1＞0,
∴当x=2时,函数有最小值,最小值为-9,当x=0时,y=-5,当x=5时,y=0,
∴当0≤x≤5时,函数的最大值为0,最小值为-9.

10. 若函数 $ y = 4x^{2} - 4ax + a^{2} + 1(0 \leq x \leq 2) $ 的最小值为 3,求 $ a $ 的值。

答案： 10.解析 y=4x²-4ax+a²+1=4$(x-\frac{a}{2})$²+1(0≤x≤2).
①当0≤$\frac{a}{2}$≤2,即0≤a≤4时,最小值为1,不符合题意,舍去;
②当$\frac{a}{2}$＜0,即a＜0时,函数在x=0处取得最小值,即a²+1=3,解得a=$\sqrt{2}$(舍去)或a=-$\sqrt{2}$,故a=-$\sqrt{2}$;
③当$\frac{a}{2}$＞2,即a＞4时,函数在x=2处取得最小值,即a²-8a+14=0,解得a=4-$\sqrt{2}$(舍去)或a=4+$\sqrt{2}$,故a=4+$\sqrt{2}$.
综上,a的值为-$\sqrt{2}$或4+$\sqrt{2}$.

11. 已知二次函数 $ y = x^{2} + (a - 1)x + 1 $,当 $ 1 \leq x \leq 3 $ 时,在 $ x = 1 $ 处取得最大值,求 $ a $ 的取值范围。

答案： 11.解析 抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{a-1}{2}$=$\frac{1-a}{2}$,
∵1＞0,
∴抛物线开口向上.
分三种情况:
(1)当抛物线的对称轴在直线x=1的左侧时,显然不符合题意,舍去.
(2)当抛物线的对称轴在直线x=1和直线x=3之间时,要满足在x=1处取得最大值,则$\frac{1-a}{2}$≥$\frac{1+3}{2}$,解得a≤-3.
(3)当抛物线的对称轴在直线x=3的右侧时,有$\frac{1-a}{2}$＞3,解得a＜-5.
综上所述,a的取值范围为a≤-3.

12. 求函数 $ y = x^{2} - 4x + 1 $ 在 $ a \leq x \leq a + 2 $ 上的最小值。

答案： 12.解析
∵y=x²-4x+1=(x-2)²-3,1＞0,
∴当x＜2时,y随x的增大而减小,当x＞2时,y随x的增大而增大.
当a＞2时,在a≤x≤a+2上y随x的增大而增大,则当x=a时函数有最小值,最小值为a²-4a+1;
当a≤2≤a+2,即0≤a≤2时,在a≤x≤a+2上,当x=2时函数有最小值,最小值为-3;
当a+2＜2,即a＜0时,在a≤x≤a+2上y随x的增大而减小,则当x=a+2时函数有最小值,最小值为a²-3.
综上可知,当a＞2时,函数最小值为a²-4a+1;当0≤a≤2时,函数最小值为-3;当a＜0时,函数最小值为a²-3.

13. 「2025 安徽芜湖月考」已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3,0) $,$ B(1,0) $,与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ C $,且 $ OC = OA $。
(1)求二次函数的表达式。
(2)当 $ m \leq x \leq m + 3 $ 时,函数的最小值为 5,求 $ m $ 的值。

答案： 13.解析
(1)由题意得点C(0,-3),把A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)代入y=ax²+bx+c,得$\begin{cases}9a-3b+c=0, \\a+b+c=0, \\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1, \\b=2, \\c=-3,\end{cases}$则二次函数的表达式为y=x²+2x-3.
(2)
∵y=x²+2x-3=(x+1)²-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1,当m+3≤-1,即m≤-4时,在m≤x≤m+3上y随x的增大而减小,当x=m+3时,y$_{min}$=(m+3)²+2(m+3)-3=5,解得m=-1(舍去)或m=-7.当m≥-1时,在m≤x≤m+3上y随x的增大而增大,当x=m时,y$_{min}$=m²+2m-3=5,解得m=-4(舍去)或m=2.当m＜-1＜m+3,即-4＜m＜-1时,函数的最小值为-4.不符合题意,舍去.综上,m=2或-7.