《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

8.新考向阅读理解题「2025河北石家庄四十四中期中,」阅读与计算：请阅读以下材料,并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理：如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,则$\frac { A B } { A C } = \frac { B D } { C D }$.下面是这个定理的部分证明过程.
证明：如图2,过C作CE//DA,交BA的延长线于点E.……
任务：
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分.
(2)填空：如图3,在Rt△ABC中,AB= 6,BC= 8,∠ABC= 90°,AD平分∠BAC,则△ABD的周长是______.

答案：
(1)证明:如题图2,过C作CE//DA,交BA的延长线于点E.则$\frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$,∠2=∠ACE,∠1=∠E.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠ACE=∠E,
∴AE=AC,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$9+3\sqrt{5}$
详解:
∵AB=6,BC=8,∠ABC=90°,
∴AC=$\sqrt{6^2+8^2}=10$.
∵AD平分∠BAC,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,即$\frac{10}{6}=\frac{8-BD}{BD}$,
∴BD=3,
∴在Rt△ABD中,AD=$\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$,
∴△ABD的周长=3+6+$3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}$.

9.新课标推理能力新考向规律探究题如图,在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下结论：
①当$\frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 1 + 1 }$时,有$\frac { A O } { A D } = \frac { 2 } { 3 } = \frac { 2 } { 2 + 1 }$(如图1)；
②当$\frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 1 + 2 }$时,有$\frac { A O } { A D } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 2 } { 2 + 2 }$(如图2)；
③当$\frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 1 + 3 }$时,有$\frac { A O } { A D } = \frac { 2 } { 5 } = \frac { 2 } { 2 + 3 }$(如图3).
如图4,当$\frac { A E } { A C } = \frac { 1 } { 1 + n }$时,请你猜想$\frac { A O } { A D }$的一般结论,并证明你的结论(其中n为正整数).

答案：
猜想:$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{2+n}$.
证明:如图,过D作DF//BE,交AC于F,
∴AO∶AD=AE∶AF,CD∶BD=CF∶EF,
∵D为BC边的中点,
∴BD=CD,
∴CF=EF=$\frac{1}{2}$EC.
∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{1+n}$,
∴AE∶(AE+2EF)=1∶(1+n),
∴AE∶EF=2∶n,
∴AE∶AF=2∶(2+n),
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{2+n}$.