《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

6. 如图,直线$y= (k-5)x+b与反比例函数y= \frac {k}{x}(x＞0)$的图象相交于A,B两点,若点A的横坐标为1,点B的横坐标为4,则线段AB的长为____.

答案： 答案　$3\sqrt{2}$
解析　$\because$直线$y=(k - 5)x + b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于$A$，$B$两点，点$A$的横坐标为$1$，点$B$的横坐标为$4$，$\therefore \begin{cases}k - 5 + b = k \\ 4(k - 5) + b = \frac{k}{4} \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 4 \\ b = 5 \end{cases}$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$，$\therefore$点$A$的坐标为$(1,4)$，点$B$的坐标为$(4,1)$，$\therefore AB=\sqrt{(4 - 1)^{2}+(1 - 4)^{2}} = 3\sqrt{2}$。

7. [2023湖南衡阳中考]如图,正比例函数$y= \frac {4}{3}x的图象与反比例函数y= \frac {12}{x}(x＞0)$的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标.
(2)分别以点O,A为圆心,大于$\frac {1}{2}OA$的长为半径作圆弧,两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D.求线段OD的长.

答案：
(1)联立$\begin{cases}y = \frac{4}{3}x \\ y = \frac{12}{x} \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -3 \\ y = -4 \end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}x = 3 \\ y = 4 \end{cases}$，$\therefore$点$A$的坐标为$(3,4)$。
(2)设点$D$的坐标为$(a,0)$。连接$AD$(图略)。由题意可知，直线$BC$是线段$OA$的垂直平分线，$\therefore AD = OD$，$\therefore AD^{2}=OD^{2}$，又$\because A(3,4)$，$\therefore (a - 3)^{2}+4^{2}=a^{2}$，$\therefore a=\frac{25}{6}$，$\therefore D(\frac{25}{6},0)$，$\therefore OD=\frac{25}{6}$。

8. 如图,反比例函数$y_{1}= \frac {k}{x}(k≠0)的图象与一次函数y_{2}= -x+b的图象在第一象限内交于A(1,3),B(3,a)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式.
(2)若Q为y轴上的一点,要使$QA+QB$的值最小,求点Q的坐标.

答案：
(1)将点$A(1,3)$分别代入$y_{1}=\frac{k}{x}(k≠0)$和$y_{2}=-x+b$，得$\frac{k}{1}=3$，$3=-1+b$，$\therefore k = 3$，$b = 4$，$\therefore$反比例函数和一次函数的表达式分别为$y_{1}=\frac{3}{x}$，$y_{2}=-x+4$。
(2)作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，连接$A'B$，$A'B$与$y$轴的交点即为满足条件的点$Q$，将点$B(3,a)$代入反比例函数表达式，得$a=\frac{3}{3}=1$，$\therefore B(3,1)$。$\because A(1,3)$，$\therefore A'(-1,3)$，设直线$A'B$的表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$A'(-1,3)$，$B(3,1)$代入，得$\begin{cases}-m + n = 3 \\ 3m + n = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{2} \\ n = \frac{5}{2} \end{cases}$，$\therefore$直线$A'B$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。当$x = 0$时，$y=-\frac{1}{2}×0+\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$，$\therefore$满足条件的点$Q$的坐标为$(0,\frac{5}{2})$。

9. [2024安徽合肥四十二中期末]如图,一次函数$y_{1}= x+3$的图象与坐标轴交于A,B两点,与反比例函数$y_{2}= \frac {m}{x}(m＞0)的图象交于C(1,n)$,D两点.
(1)求m的值以及D点的坐标.
(2)在x轴上是否存在一点P,使$S_{△ACP}= 2S_{△OCD}$?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$\because$点$C(1,n)$在一次函数$y_{1}=x+3$的图象上，$\therefore n=1+3=4$，$\therefore C(1,4)$。$\because$点$C(1,4)$在反比例函数$y_{2}=\frac{m}{x}(m＞0)$的图象上，$\therefore m=1×4=4$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。联立$\begin{cases}y = \frac{4}{x} \\ y = x + 3 \end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases}x = -4 \\ y = -1 \end{cases}$。由题图得，点$D$在第三象限，$\therefore$点$D$的坐标为$(-4,-1)$。
(2)存在。在$y_{1}=x+3$中，令$y_{1}=0$，则$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$，$\therefore OA = 3$，$\therefore S_{\triangle OCD}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×1=\frac{15}{2}$。设点$P$的坐标为$(p,0)$，则$PA=|p-(-3)|=|p + 3|$，$\because S_{\triangle ACP}=2S_{\triangle OCD}=2×\frac{15}{2}=15$，$\therefore \frac{1}{2}×4×|p + 3|=15$，整理得$p + 3=\frac{15}{2}$或$p + 3=-\frac{15}{2}$，解得$p=\frac{9}{2}$或$p=-\frac{21}{2}$，$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{9}{2},0)$或$(-\frac{21}{2},0)$。