《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

6.「2023天津中考,★☆」如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40m.下列结论:①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为$192m^2；$③菜园ABCD的面积最大为$200m^2.$其中,正确结论的个数是( )


A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 6.C　设AD的长为x m,则AB的长为$\frac{40 - x}{2}$m,当AB = 6 m时,$\frac{40 - x}{2}=6$,解得x = 28.
∵AD的长不能超过26 m,
∴x≤26,故①不正确;根据菜园ABCD的面积为192 m²,得x·$\frac{40 - x}{2}=192$,整理得x² - 40x + 384 = 0,解得x = 24或x = 16,
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192 m²,故②正确;设矩形菜园的面积为y m²,根据题意得y=x·$\frac{40 - x}{2}=-\frac{1}{2}(x^2 - 40x)=-\frac{1}{2}(x - 20)^2+200$,
∵-$\frac{1}{2}$＜0,20＜26,
∴当x = 20时,y有最大值,为200,故③正确.综上,正确的结论有2个,故选C.

7.「2025安徽合肥蜀山西苑中学期中,★☆」如图,用长为12m的铝合金材料制作一个如图所示的窗框AEFD(包含BC,GH),其中$S_{1}= S_{2}= S_{3}$.
(1)若AB= xm,用含有x的式子表示AE的长,并求出x的取值范围.
(2)求窗框AEFD的面积y关于x的表达式,并求出面积的最大值.

答案： 7.解析　
(1)
∵S₂=S₃,
∴BG=CG=$\frac{1}{2}$BC.设BG = b m,则BC = 2b m,
∵S₂=S₁,
∴BE·b = x·2b,
∴BE = 2x m,
∴AE = AB + BE=x + 2x=3x m.
∵3×2x + 2x = 8x＜12,
∴x＜$\frac{3}{2}$,
∴x的取值范围为0＜x＜$\frac{3}{2}$.
(2)由
(1)知AE + DF + GH=3x + 3x + 2x = 8x m,
∴AD=$\frac{12 - 8x}{3}=(4-\frac{8}{3}x)$m,
∴y = AD·AE=(4-$\frac{8}{3}x$)·3x=-8x²+12x=-8(x-$\frac{3}{4}$)²+$\frac{9}{2}$,
∵-8＜0,
∴当x=$\frac{3}{4}$时,y有最大值,最大值为$\frac{9}{2}$.
∴y关于x的表达式为y=-8x²+12x,窗框面积的最大值为$\frac{9}{2}$m².

8.新课标模型观念「2024四川自贡中考」九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE= 6.6m,OE= 1.4m,OB= 6m,OC= 5m,OD= 3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地的最大面积是$______m^2.$

答案： 8.答案　46.4 解析　要使该矩形菜地面积最大,则要利用AO和OC构成矩形.设矩形在射线OA上的边的长为x m,矩形菜地面积为S m².当x≤8时,如图1,矩形在射线OC上的边的长为$\frac{16 - x - 1.4 + 5}{2}=\frac{19.6 - x}{2}$m,则S=x·$\frac{19.6 - x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+9.8x=-\frac{1}{2}(x - 9.8)^2+48.02$,
∵-$\frac{1}{2}$＜0,
∴当x≤9.8时,S随x的增大而增大,
∵x≤8,
∴当x = 8时,S取得最大值,为46.4.当x＞8时,如图2,矩形菜园的总长为16 + 6.6 + 5 = 27.6 m,则矩形在射线OC上的边的长为$\frac{27.6 - 2x}{2}=(13.8 - x)$m,则S = x·(13.8 - x)=-x²+13.8x=-(x - 6.9)²+47.61,
∵-1＜0,
∴当x＞8时,S随x的增大而减小,易知当x = 8时,S = 46.4,
∴当x＞8时,S的值均小于46.4.综上所述,矩形菜地的最大面积是46.4 m².

例题 「2024山东泰安中考」如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长为40米,则可围成的菜园的最大面积是______平方米.

答案： 例题　答案　450 解析　设菜园垂直于墙的一边长为x米,菜园的面积为S平方米,则平行于墙的一边长为(60 - 2x)米,
∵墙长为40米,
∴0＜60 - 2x≤40,
∴10≤x＜30.易得S = x(60 - 2x)=-2x²+60x=-2(x - 15)²+450,
∵-2＜0,
∴当x = 15时,S有最大值,为450,
∴可围成的菜园的最大面积是450平方米.

变式1【无门变有门】如图,某学校拟建一块矩形花圃,打算一边利用学校现有的墙(墙足够长),其余三边除门外用栅栏围成,栅栏总长度为38m,门宽为2m.这个矩形花圃的最大面积是$______m^2.$

答案： 变式1　答案　200 解析　设矩形花圃平行于墙的一边长为x m,面积为y m²,则y关于x的函数表达式为y=$\frac{1}{2}(38 + 2 - x)x=-\frac{1}{2}x^2+20x=-\frac{1}{2}(x - 20)^2+200$.
∵$\begin{cases}38 + 2 - x＞0 \\x≥2\end{cases}$,
∴2≤x＜40,
∴当x = 20时,y有最大值,为200,
∴这个矩形花圃的最大面积为200 m².

变式2【无隔墙变有隔墙】如图,在一面靠墙(墙长不限)的空地上用长为24米的篱笆围成中间隔有两道篱笆的矩形鸡场,则所围鸡场的最大面积为______平方米.

答案： 变式2　答案　36 解析　设矩形鸡场垂直于墙的一边长为x米,面积为S平方米,则平行于墙的一边长为(24 - 4x)米,
∴S=(24 - 4x)x=-4(x² - 6x)=-4(x - 3)²+36.
∵-4＜0,
∴x = 3时,S有最大值,为36,
∴所围鸡场的最大面积为36平方米.

变式3 某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为21m,则能建成的饲养室总占地面积最大为$______m^2.$

答案： 变式3　答案　48 解析　设饲养室垂直于墙的一边长为x m,面积为S m²,则平行于墙的一边长为(24 - 3x)m,
∴S=(24 - 3x)x=-3(x - 4)²+48.
∵-3＜0,
∴当x = 4时,S有最大值,为48,
∴饲养室总占地面积最大为48 m².