《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

7. [2025山东青岛海信学校期中]如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的顶点O的坐标为$(0,0)$,顶点B的坐标为$(2,0)$,已知$\triangle OA'B'与\triangle OAB$位似,位似中心是原点O,且$\triangle OA'B'的面积是\triangle OAB$面积的4倍,则点A的对应点$A'$的坐标为( )

A.$(\frac {1}{2},\frac {\sqrt {3}}{2})或(-\frac {1}{2},-\frac {\sqrt {3}}{2})$

B.$(2,2\sqrt {3})或(-2,-2\sqrt {3})$
C.$(4,4\sqrt {3})或(-4,-4\sqrt {3})$
D.$(4,4\sqrt {3})或(-4\sqrt {3},-4)$

答案：
B　如图,过A作AC⊥x轴于C.
∵O(0,0),B(2,0),△ABC是等边三角形，
∴OA=OB=2,OC=$\frac{1}{2}$OB=1,由勾股定理得AC=$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴A$(1,\sqrt{3})$.
∵△OA'B'与△OAB是位似图形,位似中心是原点O,且△OA'B'的面积是△OAB面积的4倍,
∴△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,
∴点A的对应点A'的坐标是$(1×2,\sqrt{3}×2)$或$(1×(-2),\sqrt{3}×(-2))$,即$(2,2\sqrt{3})$或$(-2,-2\sqrt{3})$,故选B.　　　　　　　

8. [2025安徽宿州埇桥期中]在如图所示的方格纸中,$\triangle OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(-2,-1),B(-1,-3),\triangle O_{1}A_{1}B_{1}与\triangle OAB$是以点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置.
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出$\triangle OAB的一个位似图形\triangle OA_{2}B_{2}$,使它与$\triangle OAB的相似比为2:1$,并写出点A的对应点$A_{2}$的坐标.
(3)$\triangle OAB$的内部一点M的坐标为$(m,n)$,写出点M在$\triangle OA_{2}B_{2}中的对应点M_{2}$的坐标.

答案：
解析　
(1)如图,点P即为所求.　　　　 　
(2)如图,△OA₂B₂即为所作,点A₂的坐标为(-4,-2).　　　　 　
(3)
∵△OA₂B₂:△OAB=2:1,
∴点M在△OA₂B₂中的对应点M₂的坐标为(2m,2n).

9. 如果两个一次函数$y = k_{1}x + b_{1}和y = k_{2}x + b_{2}满足k_{1} = k_{2},b_{1} \neq b_{2}$,那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图,已知函数$y = -2x + 4$的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,一次函数$y = kx + b与y = -2x + 4$是“平行一次函数”.
(1)若函数$y = kx + b的图象过点(1,1)$,求b的值.
(2)若函数$y = kx + b的图象与两坐标轴围成的三角形和\triangle AOB$构成位似图形,位似中心为原点,相似比为$1:2$,求函数$y = kx + b$的表达式.

答案： 解析　
(1)
∵一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”,
∴k=-2.
∵函数y=kx+b的图象过点(1,1),
∴-2×1+b=1,解得b=3.
(2)对于y=-2x+4,当x=0时,y=4,当y=0时,x=2,
∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),
∵函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形,位似中心为原点,相似比为1:2,
∴点A的对应点的坐标为(1,0)或(-1,0),点B的对应点坐标为(0,2)或(0,-2).当y=kx+b经过(1,0),(0,2)时,$\begin{cases}k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2,\end{cases}$
∴函数y=kx+b的表达式为y=-2x+2.当y=kx+b经过(-1,0),(0,-2)时,$\begin{cases}-k+b=0,\\b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=-2,\end{cases}$
∴函数y=kx+b的表达式为y=-2x-2.综上所述,函数y=kx+b表达式为y=-2x+2或y=-2x-2.