《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

8.如图,在平面直角坐标系中,过原点$O的直线交反比例函数y= \frac{k}{x}的图象于A$,$B$两点,$BC\perp y轴于点C$,$\triangle ABC$的面积为6,则$k$的值为______.

答案： 答案 -6
解析 由反比例函数图象的对称性可知，OA = OB，
∴$S_{\triangle AOC} = S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6，
∴$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×6 = \frac{1}{2}|k|$，
∴k = ±6。又
∵反比例函数图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴k = -6。
易错警示　注意k的符号
在利用反比例函数的比例系数k的几何意义求k的值时，容易忽略反比例函数图象所在的象限弄错k的符号。

9.如图,正比例函数$y= -x与反比例函数y= -\frac{3}{x}的图象相交于A$,$C$两点,$AB\perp x轴于B$,$CD\perp x轴于D$,则四边形$ABCD$的面积为______.

答案： 答案 6
解析 【解法一】面积公式法：联立$\begin{cases}y = -x\\y = -\frac{3}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \sqrt{3}\\y = -\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x = -\sqrt{3}\\y = \sqrt{3}\end{cases}$，
∴A$(-\sqrt{3},\sqrt{3})$，C$(\sqrt{3},-\sqrt{3})$。
∵AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，
∴$AB = \sqrt{3}$，$BD = 2\sqrt{3}$，$CD = \sqrt{3}$，
∴$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3} + \frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3} = 6$。
【解法二】几何意义法：易知四边形ABCD是平行四边形，$S_{\triangle AOB} = \frac{|k|}{2} = \frac{1}{2}×|-3| = \frac{3}{2}$，
∴$S_{四边形ABCD} = 4S_{\triangle AOB} = 4×\frac{3}{2} = 6$。

10.「2025安徽安庆怀宁黄墩中学月考」如图,在平面直角坐标系中,直线$y= 3x-3与反比例函数y= \frac{k}{x}的图象在第一象限交于点A(2,n)$,在第三象限交于点$B$,过点$B作BC\perp x轴于C$,连接$AC$.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)
∵点A(2,n)在直线y = 3x - 3上，
∴n = 3，
∴A(2,3)。
∵A(2,3)在反比例函数的图象上，
∴k = 6，
∴反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$。
(2)设直线y = 3x - 3与x轴的交点为D(图略)，令y = 0，则3x - 3 = 0，解得x = 1，
∴D(1,0)。联立$\begin{cases}y = 3x - 3\\y = \frac{6}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = -1\\y = -6\end{cases}$，
∴B(-1,-6)。
∵BC⊥x轴于C，
∴C(-1,0)，
∴CD = 2，
∴$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}×2×3 + \frac{1}{2}×2×6 = 9$。

11.「2025安徽马鞍山期中」如图,点$A在双曲线y= \frac{1}{x}(x＞0)$上,点$B在双曲线y= \frac{k}{x}(x＜0)$上,$AB// x$轴,点$C是x$轴上一点,连接$AC$,$BC$,若$\triangle ABC$的面积是4,则$k$的值为( )

A.-3
B.7
C.-7
D.-6

答案：
如图，连接OA，OB，设AB与y轴交于点M，
∵AB//x轴，
∴AB⊥y轴，$S_{\triangle ABO} = S_{\triangle ABC} = 4$。
∵点A在双曲线$y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$上，点B在双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$上，
∴$S_{\triangle BMO} = \frac{1}{2}|k|$，$S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2}×1 = \frac{1}{2}$，
∴$S_{\triangle ABO} = S_{\triangle BMO} + S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2}|k| + \frac{1}{2} = 4$，解得k = ±7。
∵双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$在第二象限，
∴k＜0，
∴k = -7。故选C。
　　　　　　　

12.「2025安徽合肥五十中西校期中」如图,矩形$OABC$中,点$B在反比例函数y= \frac{6}{x}$的图象上,$BC与反比例函数y= \frac{k}{x}(k\neq0)的图象交于点D$,若$\triangle BOD$的面积为2,则$k$的值是______.

答案： 答案 2
解析 由题意，得矩形OABC的面积为6，
∴△BOC的面积为$\frac{1}{2}×6 = 3$。
∵△BOD的面积为2，
∴△COD的面积为3 - 2 = 1。设点D的坐标是(m,n)，
∴$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2}mn = 1$，
∴mn = 2。
∵BC与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于点D，
∴k = mn = 2。

13.如图,两个反比例函数$y= \frac{k}{x}和y= -\frac{2}{x}的图象分别是l_1和l_2$,$E(2,\frac{1}{2})是l_1$上的一点.
(1)求$k$的值.
(2)点$P是第一象限内l_1$上一动点,直线$PC\perp x$轴,垂足为$C$,交$l_2于点A$,直线$PD\perp y$轴,垂足为$D$,交$l_2于点B$,连接$AB$,求$S_{长方形CPDO}和S_{\triangle PAB}$的值.

答案：
(1)
∵$E\left(2,\frac{1}{2}\right)$是$l_1$上的一点，
∴$\frac{1}{2} = \frac{k}{2}$，解得k = 1。
(2)设点P的坐标为$\left(a,\frac{1}{a}\right)$，则$OC = a$，$OD = \frac{1}{a}$，
∴$S_{长方形CPDO} = a\cdot\frac{1}{a} = 1$。由点P和点A的横坐标相同，点A在$l_2$上，可得点A的纵坐标为$-\frac{2}{a}$，
∴$PA = \frac{3}{a}$。由点P和点B的纵坐标相同，点B在$l_2$上，可得点B的横坐标为 - 2a，
∴PB = 3a，
∴$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2}PA\cdot PB = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{a}\cdot3a = \frac{9}{2}$。