《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

11.「2025 安徽安庆外国语学校月考,」当$ab＞0$时,$y= ax^{2}与y= ax+b$的图象大致是( )

A
B
C
D

答案： D　ab＞0，即a，b同号。当a＞0，b＞0时，y=ax²的图象开口向上，经过原点，y=ax+b的图象过第一、二、三象限，此时没有选项符合。当a＜0，b＜0时，y=ax²的图象开口向下，经过原点，y=ax+b的图象过第二、三、四象限，此时D选项符合。故选D。

12.「2024 安徽宣城期末,」已知点$A(1,1),B(3,1),C(3,2),D(1,2)$,若抛物线$y= ax^{2}(a＞0)与四边形ABCD$的边没有交点,则$a$的取值范围为( )

A.$\frac {1}{9}＜a＜1$
B.$\frac {2}{9}＜a＜1$
C.$a＞2或0＜a＜\frac {1}{9}$
D.$a＞1或0＜a＜\frac {2}{9}$

答案：
C　如图所示，把D(1,2)代入y=ax²(a＞0)，得a=2。把B(3,1)代入y=ax²得a=$\frac{1}{9}$。
∵ 抛物线的开口越小，|a|越大，
∴ 当抛物线y=ax²(a＞0)与四边形ABCD的边没有交点时，a的取值范围为a＞2或0＜a＜$\frac{1}{9}$。故选C。

13.「2025 北京西城育才学校月考,」对于二次函数$y= ax^{2}和y= bx^{2}$,其自变量和函数值的两组对应值如表所示：
| $x$ | $-1$ | $m(m≠-1)$ |
| $y= ax^{2}$ | $c$ | $c$ |
| $y= bx^{2}$ | $c+3$ | $d$ |

根据二次函数图象的相关性质可知：$m= $____,$d-c= $____.

答案： 答案　1；3
解析　抛物线y=ax²和y=bx²的对称轴都为y轴，可将题表中的数表示为坐标(−1,c)，(m,c)，(−1,c+3)，(m,d)。
∵ (−1,c)，(m,c)两点纵坐标相等，且m ≠−1，
∴ m=1。
∵ (−1,c+3)，(m,d)两点的横坐标关于y轴对称，
∴ d=c+3，
∴ d−c=3。

14.「2024 广西南宁天桃实验学校月考,」已知点$A(2,4),B(0,1)$,点$M在抛物线y= \frac {1}{4}x^{2}$上运动,则$AM+BM$的最小值为____.

答案：
答案　5
解析　设点M(m,$\frac{1}{4}$m²)，则点M到x轴的距离为$\frac{1}{4}$m²，BM=$\sqrt{(m−0)²+(\frac{1}{4}m²−1)²}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴ 点M到点B的距离与点M到直线y=−1的距离相等。
∵ 点A的横坐标为2，
∴ 点M为直线x=2与抛物线的交点时，AM+BM取得最小值。如图，设直线x=2与直线y=−1的交点为B'，则B'(2,−1)，
∴ AB'的长为AM+BM的最小值，AB'=4−(−1)=5。故答案为5。
　　　　　　

15.「2023 江苏扬州中考节选,」在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A在y$轴正半轴上.如果四个点$(0,0),(0,2),(1,1),(-1,1)中恰有三个点在二次函数y= ax^{2}$($a$为常数,且$a≠0$)的图象上.
(1)$a= $____.
(2)如图,已知菱形$ABCD的顶点B,C,D$在该二次函数的图象上,且$AD⊥y$轴,求菱形的边长.

答案：
解析　
(1)1。
详解:在y=ax²中，令x=0得y=0，
∴ (0,0)在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上，(0,2)不在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上。
∵ 四个点(0,0)，(0,2)，(1,1)，(−1,1)中恰有三个点在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上，
∴ (0,0)，(1,1)，(−1,1)这三个点在二次函数y=ax²(a为常数，且a≠0)的图象上。把(1,1)代入y=ax²，得a=1。
(2)设BC交y轴于E，如图。设菱形的边长为2t，则AB=BC=CD=AD=2t。易知B，C关于y轴对称，
∴ BE =CE=t，
∴ B(−t,t²)，
∴ OE=t²。
∵ AE=$\sqrt{AB²−BE²}$=$\sqrt{3}$t，
∴ OA=OE+AE=t²+$\sqrt{3}$t，
∴ D(2t,t²+$\sqrt{3}$t)。把D(2t,t²+$\sqrt{3}$t)代入y=x²，得t²+$\sqrt{3}$t=4t²，解得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或t=0(舍去)，
∴ 菱形的边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

16. 几何直观 规律探究题「2025 广西钦州一中期中」在平面直角坐标系中,抛物线$y= x^{2}$如图所示,已知点$A的坐标为(1,1)$,过点$A作AA_{1}// x轴交抛物线于点A_{1}$,过点$A_{1}作A_{1}A_{2}// OA交抛物线于点A_{2}$,过点$A_{2}作A_{2}A_{3}// x轴交抛物线于点A_{3}$,过点$A_{3}作A_{3}A_{4}// OA交抛物线于点A_{4}$,……,依次进行下去,则点$A_{2024}$的坐标为____.

答案： 答案　(1013,1013²)
解析
∵ 点A的坐标为(1,1)，
∴ 直线OA的表达式为y₁=x。
∵ AA₁//x轴，且点A₁在抛物线y=x²上，
∴ 点A₁的坐标为(−1,1)。
∵ A₁A₂//OA，
∴ 直线A₁A₂的表达式为y₂=x+2。将直线A₁A₂的表达式与抛物线的表达式联立，得$\begin{cases}y = x + 2\\y = x^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -1\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$，
∴ 点A₂的坐标为(2,4)。
∵ A₂A₃//x轴，且点A₃在抛物线上，
∴ 点A₃的坐标为(−2,4)。同理可求得点A₄的坐标为(3,9)，点A₅的坐标为(−3,9)，……，依此规律，点A₂ₙ的坐标为(n + 1,(n + 1)²)，
∴ 点A₂₀₂₄的坐标为(1013,1013²)。