《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

9. 如图所示的是中国象棋的部分棋盘(各个小正方形的边长均相等),若“马”行棋一步后,“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“炮”“车”所在位置的格点构成的三角形相似,则“马”落棋的位置是( )

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： B

10. 如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,$\triangle ABC$的顶点都在格点上,点$P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},A,C是\triangle ABC$边上的7个格点,请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与$\triangle ABC$相似,符合题意的三角形共有____个.

答案： 6

11. 如图所示的是边长为1的小正方形组成的网格,$\triangle ABC$的顶点都在格点上.
(1)在边AB上找出一点P,连接PC,使得$\triangle BCP\backsim \triangle BAC$.
(2)利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明(1)中的结论.

答案：
(1)
∵网格是由边长为1的小正方形组成的，
∴BC = $\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AB = 5，
∵△BCP∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BP}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BP = 1，则P点的位置如图所示。
(2)证明：如图，
∵网格是由边长为1的小正方形组成的，
∴在△BAC中，BC = $\sqrt{5}$，AC = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，AB = 5，在△BCP中，BP = 1，PC = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，BC = $\sqrt{5}$，
∵$\frac{BC}{BA}=\frac{BP}{BC}=\frac{CP}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴△BCP∽△BAC。

12. 如图,在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,D,D'分别是AB,A'B'上一点,$\frac {AD}{AB}= \frac {A'D'}{A'B'}$.

(1)当$\frac {CD}{C'D'}= \frac {AC}{A'C'}= \frac {AB}{A'B'}$时,求证:$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$.
证明思路可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)当$\frac {CD}{C'D'}= \frac {AC}{A'C'}= \frac {BC}{B'C'}$时,判断$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是否相似,并说明理由.

答案：
(1)从上到下依次填：$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$；∠A = ∠A'。
证明：
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∵$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴△ADC∽△A'D'C'，
∴∠A = ∠A'。
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'。
(2)△ABC∽△A'B'C'。
理由：如图，过点D，D'分别作DE//BC，D'E'//B'C'，DE交AC于点E，D'E'交A'C'于点E'
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$。
同理，$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$。
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$，
∴$\frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$。
同理，$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$，
∴$\frac{AC - AE}{AC}=\frac{A'C' - A'E'}{A'C'}$，即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$，
∴$\frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
∵$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EC}{E'C'}$，
∴△DCE∽△D'C'E'，
∴∠CED = ∠C'E'D'。
∵DE//BC，
∴∠CED + ∠ACB = 180°，
∵D'E'//B'C'，
∴∠C'E'D' + ∠A'C'B' = 180°，
∴∠ACB = ∠A'C'B'，
又
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'。