《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 5$,$AC = 12$,则$AB = $______,$\angle A = $______(可以借助计算器计算。结果精确到$1'$)。

答案： 7.答案 13;22°37′解析
∵∠C=90°,BC=5,AC=12,
∴AB=√(BC²+AC²)=13,
∴sinA=BC/AB=5/13,
∴∠A≈22°37′.

8. 已知下列锐角的三角函数值,用计算器求锐角$A$,$B$的度数(结果精确到$0.1^{\circ}$)。
(1)$\sin A = 0.65$,$\sin B = 0.07$。
(2)$\cos A = 0.21$,$\cos B = 0.7$。
(3)$\tan A = 3.4$,$\tan B = 1.5$。

答案： 8.解析
(1)∠A≈40.5°,∠B≈4.0°.
(2)∠A≈77.9°,∠B≈45.6°.
(3)∠A≈73.6°,∠B≈56.3°.

9. 「2025 福建漳州长泰期末」已知$\alpha$为锐角,且$\tan\alpha = 1.385$,则$\sin\alpha\approx$______,$\cos\alpha\approx$______。(结果精确到$0.0001$)

答案： 9.答案 0.8108;0.5854解析 用科学计算器计算,得α≈54.17°,则sinα≈0.8108,cosα≈0.5854.

10. 「2020 山东临沂中考」如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角$\alpha要满足60^{\circ}\leq\alpha\leq75^{\circ}$,现有一架长$5.5m$的梯子。
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？(结果保留小数点后一位)
(2)当梯子底端距离墙面$2.2m$时,$\alpha$等于多少度？(结果保留小数点后一位)此时人能否安全使用这架梯子？

答案： 10.解析
(1)由题意得,当α=75°时,使用这架梯子可以安全攀上的墙的高度最高,在Rt△ABC中,sinα=AC/AB,
∴AC=AB·sin75°≈5.5×0.97≈5.3(m).答:使用这架梯子最高可以安全攀上高约5.3m的墙.
(2)在Rt△ABC中,cosα=BC/AB=2.2/5.5=0.4,则α≈66.4°,
∵60°＜66.4°＜75°,
∴此时人能够安全使用这架梯子.

11. (1)用计算器计算并比较$\sin25^{\circ}+\sin46^{\circ}与\sin71^{\circ}$之间的大小关系。
(2)若$\alpha$,$\beta$,$\alpha+\beta$都是锐角,猜想$\sin\alpha+\sin\beta与\sin(\alpha+\beta)$的大小关系。
(3)请借助如图所示的图形证明上述猜想。

答案： 11.解析
(1)
∵sin25°+sin46°≈0.423+0.719=1.142,sin71°≈0.946,
∴sin25°+sin46°＞sin71°.
(2)sinα+sinβ＞sin(α+β).
(3)由题图可知sinα+sinβ=AB/OA+BC/OB,sin(α+β)=AE/OA,:OA＞OB,
∴BC/OB＞BC/OA,:AB/OA+BC/OB＞AB/OA+BC/OA=(AB+BC)/OA.
∵AB+BC＞AE,
∴(AB+BC)/OA＞AE/OA,:AB/OA+BC/OB＞AE/OA,
∴sinα+sinβ＞sin(α+β).