《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册沪科版》

1.「2025 辽宁大连八十中月考」二次函数$y= -2x^{2}$的图象大致是( )
A
B
C
D

答案： D　函数y=−2x²的图象是一条过原点、开口向下的抛物线,故选D.

2. 教材变式 在平面直角坐标系中,画出函数$y= 2x^{2}$的图象.

答案：
解析　列表:
　描点、连线，如图所示
　　　　　　

3. 多解法「2025 安徽阜阳月考」若二次函数$y= ax^{2}的图象经过点A(3,-6)$,则该图象必经过点( )

A.$(-3,6)$
B.$(-3,-6)$
C.$(6,-3)$
D.$(6,3)$

答案： B　【解法一】代入法:
∵ 二次函数y=ax²的图象经过点A(3,−6)，
∴ −6=9a，解得a=−$\frac{2}{3}$，
∴ y=−$\frac{2}{3}$x²。当x=−3时，y=−6，
∴ 该函数图象必经过点(−3,−6)。
【解法二】对称性法:
∵ 二次函数y=ax²的图象的对称轴为y轴，
∴ 函数图象经过点A(3,−6)时，该图象必经过点(−3,−6)。

4.「2021 江苏常州中考」已知二次函数$y= (a-1)x^{2}$,当$x＞0$时,$y随x$的增大而增大,则实数$a$的取值范围是( )

A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≠1$
D.$a＜1$

答案： B
∵ 二次函数y=(a−1)x²图象的对称轴为直线x=0，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴ a−1＞0，
∴ a＞1，故选B。

5.「2025 安徽潜山南片多校联考」对于二次函数$y= 3x^{2}$,下列说法中错误的是( )

A.其图象开口向上
B.其图象关于$y$轴对称
C.$y$有最小值 0
D.当$x＞0$时,$y随x$的增大而减小

答案： D　二次函数y=3x²的图象开口向上，对称轴为y轴，函数有最小值0，当x＞0时，y随x的增大而增大。故选D。

6.「2024 安徽亳州蒙城庄子中学月考」在下列抛物线中,开口最小的是( )

A.$y= -\frac {1}{3}x^{2}$
B.$y= -\frac {1}{2}x^{2}$
C.$y= \frac {5}{3}x^{2}$
D.$y= (2+\sqrt {2})x^{2}$

答案： D　二次函数y=ax²中，a的绝对值越大，抛物线开口越小，
∵ |2+$\sqrt{2}$|＞|$\frac{5}{3}$|＞|$\frac{1}{2}$|＞|$\frac{1}{3}$|，
∴ 抛物线y=(2+$\sqrt{2}$)x²的开口最小。故选D。
方法归纳抛物线y=ax²中的a的取值与开口的关系对于抛物线y=ax²，a的正负决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

7. 教材变式 在同一坐标系中,函数$y= 2025x^{2}与y= -2025x^{2}$的图象的位置关系是____.

答案： 答案　关于x轴对称
解析　函数y=2025x²与y=−2025x²的图象关于x 轴对称。

8. 多解法已知$A(-1,y_{1}),B(-2,y_{2}),C(\frac {1}{3},y_{3})三点都在二次函数y= -\frac {1}{3}x^{2}$的图象上,比较$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小：____.(用“＞”连接)

答案：
答案y₃＞y₁＞y₂
解析　【解法一】代入法:当x=−1时，y₁=−$\frac{1}{3}$×(−1)²=−$\frac{1}{3}$；当x=−2时，y₂=−$\frac{1}{3}$×(−2)²=−$\frac{4}{3}$；当x=$\frac{1}{3}$时，y₃=−$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{3}$)²=−$\frac{1}{27}$，所以y₃＞y₁＞y₂。
【解法二】对称轴法:函数y=−$\frac{1}{3}$x²的图象的对称轴为y轴，开口向下，函数有最大值，在A(−1,y₁)，B(−2,y₂)，C($\frac{1}{3}$，y₃)三点中，它们与对称轴直线x=0的距离从小到大依次为C($\frac{1}{3}$，y₃)，A(−1,y₁)，B(−2,y₂)，所以y₃＞y₁＞y₂。
【解法三】函数性质法:函数y=−$\frac{1}{3}$x²的图象的对称轴为y轴，点C($\frac{1}{3}$，y₃)关于y轴对称的点为(−$\frac{1}{3}$，y₃)，因为−2＜−1＜−$\frac{1}{3}$，当x＜0时，y随x的增大而增大，所以y₃＞y₁＞y₂。
【解法四】图象法:如图，由图象可知y₃＞y₁＞y₂。
　　　　　　

9. 易错题已知二次函数$y= x^{2}$,当$-1≤x≤3$时,$y$的取值范围是____.

答案： 答案　0≤y≤9
解析
∵ 抛物线y=x²开口向上，顶点坐标是(0,0)，
∴ 抛物线y=x²有最低点，即当x=0时，函数有最小值，为0。在−1≤x≤3的范围内，当x=3时，y取得最大值，为9，
∴ y的取值范围是0≤y≤9。
易错警示二次函数的增减性是以图象的对称轴为分界线的，且当自变量的取值范围包含了对称轴所对的x的值时，不能忽略其在对称轴处取得的值。

10.「2025 安徽阜阳月考改编」直线$y= -x+3与抛物线y= ax^{2}交于点(2,n)$.
(1)求$a和n$的值.
(2)对于二次函数$y= ax^{2}$,$x$取什么值时,$y$有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？
(3)对于二次函数$y= ax^{2}$,当$y随x$的增大而增大时,求自变量$x$的取值范围.

答案： 解析　
(1)把(2,n)代入y=−x+3，得n=−2+3=1。把(2,1)代入y=ax²，得4a=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴ n=1，a=$\frac{1}{4}$。
(2)
∵ a=$\frac{1}{4}$＞0，
∴ 抛物线开口向上，故抛物线的顶点为最低点，
∴ 当x=0时，函数y有最小值，最小值为0。
(3)由
(1)知a=$\frac{1}{4}$，
∴ y=$\frac{1}{4}$x²，
∴ 当y随x的增大而增大时，x≥0。