《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

3.综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图2所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.

【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为$xmm$,凳面的宽度为$ymm$,记录如下:
|以对称轴为基准向两边各取相同的长度$x/mm$|$16.5$|$19.8$|$23.1$|$26.4$|$29.7$|
|凳面的宽度$y/mm$|$115.5$|$132$|$148.5$|$165$|$181.5$|
【分析数据】
如图3,小组根据表中$x,y$的数值,在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式;如果不在同一条直线上,请说明理由.
它们在同一条直线上。
设函数解析式为 $ y = kx + b(k \neq 0) $。
根据题意，得 $ \begin{cases} 16.5k + b = 115.5, \\ 23.1k + b = 148.5. \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = 5, \\ b = 33. \end{cases} $
所以这条直线所对应的函数解析式为 $ y = 5x + 33 $。
(2)当凳面宽度为$213mm$时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少?
当 $ y = 213 $ 时，$ 213 = 5x + 33 $。
解得 $ x = 36 $。
所以当凳面宽度为 $ 213mm $ 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是 $ 36mm $。

答案： 3.
(1) 它们在同一条直线上。
设函数解析式为 $ y = kx + b(k \neq 0) $。
根据题意，得 $ \begin{cases} 16.5k + b = 115.5, \\ 23.1k + b = 148.5. \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} k = 5, \\ b = 33. \end{cases} $
所以这条直线所对应的函数解析式为 $ y = 5x + 33 $。
(2) 当 $ y = 213 $ 时，$ 213 = 5x + 33 $。
解得 $ x = 36 $。
所以当凳面宽度为 $ 213mm $ 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是 $ 36mm $。