《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,$BC = 10$,过点$A作AD// BC$,且点$D在点A$的右侧。点$P从点A出发沿射线AD方向以每秒1$个单位的速度运动,同时点$Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2$个单位的速度运动,在线段$QC上取点E$,使得$QE = 2$,连结$PE$,设点$P的运动时间为t$秒。
任务一：若$PE\perp BC$,求$BQ$的长；
任务二：请问是否存在$t$的值,使以$A$,$B$,$E$,$P$为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出$t$的值；若不存在,请说明理由。

答案：
任务一:如图，过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$.
$\because \angle BAC=90^{\circ}$,$\angle B=45^{\circ}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$\therefore \angle C=45^{\circ}$.
$\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}$.
$\therefore AB=AC$.
$\therefore BM=CM$.
$\therefore AM=\frac{1}{2}BC=5$.
$\because AD// BC$,
$\therefore \angle PAN=\angle C=45^{\circ}$.
$\because PE\perp BC$,
$\therefore PE=AM=5$,$PE\perp AD$.
$\therefore \triangle APN$和$\triangle CEN$均为等腰直角三角形.
$\therefore PN=AP=t$,$CE=NE=5-t$.
又$\because CE=CQ-QE=2t-2$,
$\therefore 5-t=2t-2$,解得$t=\frac{7}{3}$.
$\therefore BQ=BC-CQ=10-2×\frac{7}{3}=\frac{16}{3}$.
任务二:存在
当$t$的值为$4$或$12$时，以$A$,$B$,$E$,$P$为顶点的四边形为平行四边形.

1. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB// CD$,点$E在边AB$上,①。
请从“①$\angle B = \angle AED$；②$AE = BE$,$AE = CD$”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题：
(1)求证：四边形$BCDE$为平行四边形；
(2)若$AD\perp AB$,$AD = 8$,$BC = 10$,求线段$AE$的长。

答案： 1.
(1)选择①.
证明:$\because \angle B=\angle AED$,
$\therefore BC// DE$.
$\because AB// CD$,
$\therefore$ 四边形$BCDE$为平行四边形.
选择②.
证明:$\because AE=BE$,$AE=CD$,
$\therefore BE=CD$.
$\because AB// CD$,即$BE// CD$,
$\therefore$ 四边形$BCDE$为平行四边形.
(2)由
(1)可知，四边形$BCDE$为平行四边形,
$\therefore DE=BC=10$.
$\because AD\perp AB$,
$\therefore \angle A=90^{\circ}$.
$\therefore AE=\sqrt{DE^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,
即线段$AE$的长为$6$.