《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

4. 如图,BD是正方形ABCD的对角线,线段BC在其所在的直线上平移,将平移得到的线段记为PQ,连结PA,过点Q作QO⊥BD,垂足为点O,连结OA,OP.
(1)如图1,求证：AP= $\sqrt{2}$OA；
(2)如图2,PQ在BC的延长线上,如图3,PQ在BC的反向延长线上,猜想线段AP,OA之间有怎样的数量关系. 请直接写出你的猜想,不需证明.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵QO⊥BD,
∴∠BOQ=90°,
∴∠BQO=∠CBD=45°,
∴OB=OQ,∠ABD=∠BQO,
∵线段PQ是BC平移得到的,
∴PQ=BC,PQ//BC,
∴AB=PQ,
在△ABO和△PQO中,
$\left\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ \angle ABO=\angle PQO\\ BO=QO\end{array}\right.$,
∴△ABO≌△PQO(SAS),
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∵∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°,
∴∠AOB+∠BOP=∠AOP=90°,
∴△AOP是等腰直角三角形,
∴AP=$\sqrt{2}$OA.
(2)图2、图3中均有AP=$\sqrt{2}$OA.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°,
∵QO⊥BD,
∴∠BOQ=90°,
∴∠BQO=∠CBD=45°,
∴OB=OQ,∠ABD=∠BQO,
∵线段PQ是BC平移得到的,
∴PQ=BC,PQ//BC,
∴AB=PQ,
在△ABO和△PQO中,
$\left\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ \angle ABO=\angle PQO\\ BO=QO\end{array}\right.$,
∴△ABO≌△PQO(SAS),
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∵∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°,
∴∠AOB+∠BOP=∠AOP=90°,
∴△AOP是等腰直角三角形,
∴AP=$\sqrt{2}$OA.
(2)图2、图3中均有AP=$\sqrt{2}$OA.