《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

英国著名盲人数学家、剑桥大学第四任卢卡斯教授桑德森给出了一个分式方程的解法：
$ \frac { 4 2 x } { x - 2 } = \frac { 3 5 x } { x - 3 } \Rightarrow \frac { 4 2 } { x - 2 } = \frac { 3 5 } { x - 3 } \Rightarrow 4 2 ( x - 3 ) = 3 5 ( x - 2 ) \Rightarrow x = 8. $
接着,作为解题过程的一部分,他还给出了以上解法的逆过程：$ x = 8 \Rightarrow 7 x = 5 6 \Rightarrow 4 2 x - 3 5 x = 1 2 6 - 7 0 \Rightarrow 4 2 ( x - 3 ) = 3 5 ( x - 2 ) \Rightarrow \frac { 4 2 } { x - 2 } = \frac { 3 5 } { x - 3 } \Rightarrow \frac { 4 2 x } { x - 2 } = \frac { 3 5 x } { x - 3 } $
任务：从上述解法中可以看出,桑德森已经意识到解方程是可逆的,但是他在方程两边同时约去或乘以 $ x $ 的做法是有瑕疵的,问题出在什么地方？
没有考虑$x = 0$是原方程的解，约去$x$时忽略了$x = 0$的情况导致漏解。

答案： 【解析】：在方程两边同时约去或乘以 $ x $ 时，没有考虑 $ x = 0 $ 的情况。若 $ x = 0 $，此时约分会导致除数为零，是不成立的；而在逆过程中乘以 $ x $ 时，若原方程中 $ x $ 为零可能是解，但原方程分母为 $ x - 2 $ 和 $ x - 3 $，当 $ x = 0 $ 时分母不为零，代入原方程左边$\frac{0}{0 - 2} = 0$，右边$\frac{0}{0 - 3} = 0$，所以 $ x = 0 $ 也是原方程的解，桑德森的解法和约分过程遗漏了 $ x = 0 $ 这个解。
【答案】：没有考虑$x = 0$是原方程的解，约去$x$时忽略了$x = 0$的情况导致漏解。

港珠澳大桥是中国建桥史上里程最长、投资最多、施工难度最大、技术含量最高的跨海大桥. 港珠澳大桥全长 $ 5 5 $ 千米,跨越伶仃洋,东接香港特别行政区,西接广东省珠海市和澳门特别行政区,首次实现了珠海、澳门与香港的跨海陆路连接,极大地缩短了三地间的距离.
任务：通车前,小亮妈妈驾车从香港到珠海的陆路车程大约是 $ 2 2 0 $ 千米,如果行驶的平均速度不变,港珠澳大桥通车后,小亮妈妈驾车从香港到珠海所用的行驶时间比原来缩短了 $ 2 $ 小时 $ 1 5 $ 分钟,求小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要多长时间.

答案： 设小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要 $ x $ 小时，则现在驾车从香港到珠海需要 $ (x - \frac{9}{4}) $ 小时.
根据题意，得 $ \frac{220}{x} = \frac{55}{x - \frac{9}{4}} $. 解得 $ x = 3 $.
经检验，$ x = 3 $ 是所列分式方程的解，且符合题意.
答：小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要 3 小时.