《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

动手操作：第一步：如图1,将正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,展开铺平.再沿过点C的直线折叠,使点B、点D都落在对角线AC上. 此时,点B与点D重合,记为点N,且E,N,F三点在同一条直线上,折痕分别为CE,CF,如图2.
第二步：再沿AC所在的直线折叠,使△ACE与△ACF重合,得到图3.
第三步：在图3的基础上继续折叠,使点C与点F重合,如图4,展开铺平,连结EF,FG,GM,ME,如图5,图中的虚线为折痕.

问题解决：
(1)在图5中,∠BEC的度数是67.5°,$\frac{AE}{BE}$的值是$\sqrt{2}$.
(2)在图5中,请判断四边形EMGF的形状,并说明理由；
(3)在不增加字母的条件下,请你以图5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写出这个菱形：菱形AEMF（或菱形CMFG等）.

答案： 1. （1）
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCA=\angle ACD = 45^{\circ}$。
由折叠可知：$\angle BCE=\angle ECA=\frac{1}{2}\angle BCA = 22.5^{\circ}$。
在$Rt\triangle BEC$中，$\angle BEC=90^{\circ}-\angle BCE = 90 - 22.5=67.5^{\circ}$。
设$BE = x$，$BC = y$，在$Rt\triangle BEC$中，$\cos\angle BCE=\frac{BE}{CE}$，$\sin\angle BCE=\frac{BC}{CE}$，$CE=\frac{BE}{\cos22.5^{\circ}}=\frac{BC}{\sin22.5^{\circ}}$。
又因为$AE = AC - CE$，$AC=\sqrt{2}BC=\sqrt{2}y$，$\cos22.5^{\circ}=\sqrt{\frac{1 + \cos45^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$，$\sin22.5^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos45^{\circ}}{2}}=\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$。
由$CE=\frac{BE}{\cos22.5^{\circ}}=\frac{BC}{\sin22.5^{\circ}}$，$BC = AB$，设$BE=x$，$AB = BC=a$，$CE=\frac{x}{\cos22.5^{\circ}}=\frac{a}{\sin22.5^{\circ}}$，$AE=\sqrt{2}a-\frac{a}{\sin22.5^{\circ}}×\cos22.5^{\circ}$。
另一种方法：设$BE = 1$，$\angle BCE = 22.5^{\circ}$，$\angle AEC=\angle B+\angle BCE=90^{\circ}+22.5^{\circ}=112.5^{\circ}$，$\angle EAC = 45^{\circ}$，$\angle ACE = 22.5^{\circ}$，根据正弦定理$\frac{AE}{\sin\angle ACE}=\frac{CE}{\sin\angle EAC}$，$\frac{BE}{\sin\angle BCE}=\frac{CE}{\sin\angle B}$。
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$CE=\sqrt{2 + \sqrt{2}}$，$AE=\sqrt{2}$，所以$\frac{AE}{BE}=\sqrt{2}$。
答案：$67.5^{\circ}$；$\sqrt{2}$。
2. （2）
解：四边形$EMGF$是矩形。
理由如下：
由折叠可知：$\angle MEC=\angle FEC$，$\angle MCE=\angle FCE$，$\angle GFC=\angle EFC$，$\angle GCF=\angle ECF$。
因为$\angle ECF=\frac{1}{2}\angle ACD = 22.5^{\circ}$，$\angle ECF+\angle FCE = 45^{\circ}$，$\angle MEC+\angle GFC=(180^{\circ}- 2×22.5^{\circ})+(180^{\circ}-2×22.5^{\circ})=270^{\circ}$，$\angle MEF+\angle GFE = 90^{\circ}$。
又因为$ME = MF$，$GF = GM$（折叠性质），$\angle ECF=\angle FCE=\angle ECG=\angle GCM = 22.5^{\circ}$，$\angle EMG = 90^{\circ}$。
由折叠得$EF// MG$，$EM// FG$（内错角相等，两直线平行），所以四边形$EMGF$是平行四边形。
又因为$\angle EMG = 90^{\circ}$，所以平行四边形$EMGF$是矩形。
3. （3）
答案：菱形$AEMF$（或菱形$CMFG$等）。
以菱形$AEMF$为例：
由折叠可知$AE = AF$，$ME = MF$，$\angle EAC=\angle FAC = 45^{\circ}$，$\angle AEM=\angle AFM$。
因为$\angle EAF = 90^{\circ}$，$AE = AF$，$ME = MF$，$EM// AF$，$FM// AE$（内错角相等，两直线平行），所以四边形$AEMF$是菱形。
故答案依次为：（1）$67.5^{\circ}$；$\sqrt{2}$；（2）矩形，理由见上述；（3）菱形$AEMF$（或菱形$CMFG$等）。