《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

5. 在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交线段BC于点E,交线段DC的延长线于点F,以EC,CF为邻边作平行四边形ECFG.


(1)如图1,求证：平行四边形ECFG为菱形；
证明：∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
∵四边形ECFG是平行四边形,
∴平行四边形ECFG是菱形.
(2)如图2,若∠ABC= 90°,M是EF的中点,求∠BDM的度数.
解：连结BM,MC,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠BCD=90°,AD//BC,
∵AF平分∠BAD,∠BAD=90°,
∴∠BAF=∠DAF=45°,
∵AD//BC,
∴∠DAF=∠AEB=45°,
∴∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∵∠ABC=90°,AB//CD,
∴∠ECF=180°-∠BCD=90°,
由(1)知四边形ECFG是菱形,
∴菱形ECFG是正方形,
∵M是EF的中点,
∴EM=CM,∠ECM=45°,∠GEM=45°,
∵∠BEM=∠BEC+∠GEM=90°+45°=135°,∠DCM=∠BCD+∠ECM=90°+45°=135°,
∴∠BEM=∠DCM,
在△BEM和△DCM中,
$\left\{\begin{array}{l}BE=CD\\ \angle BEM=\angle DCM\\ EM=CM\end{array}\right.$,
∴△BEM≌△DCM(SAS),
∴BM=DM,∠BME=∠DMC,
∵∠DMC+∠EMD=90°,
∴∠BME+∠EMD=∠BMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形,
∴∠BDM=45°.

答案：
(1)证明：
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
∵四边形ECFG是平行四边形,
∴平行四边形ECFG是菱形.
(2)解：连结BM,MC,
∵∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠BCD=90°,AD//BC,
∵AF平分∠BAD,∠BAD=90°,
∴∠BAF=∠DAF=45°,
∵AD//BC,
∴∠DAF=∠AEB=45°,
∴∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,
∴BE=CD,
∵∠ABC=90°,AB//CD,
∴∠ECF=180°-∠BCD=90°,
由
(1)知四边形ECFG是菱形,
∴菱形ECFG是正方形,
∵M是EF的中点,
∴EM=CM,∠ECM=45°,∠GEM=45°,
∵∠BEM=∠BEC+∠GEM=90°+45°=135°,∠DCM=∠BCD+∠ECM=90°+45°=135°,
∴∠BEM=∠DCM,
在△BEM和△DCM中,
$\left\{\begin{array}{l}BE=CD\\ \angle BEM=\angle DCM\\ EM=CM\end{array}\right.$,
∴△BEM≌△DCM(SAS),
∴BM=DM,∠BME=∠DMC,
∵∠DMC+∠EMD=90°,
∴∠BME+∠EMD=∠BMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形,
∴∠BDM=45°.