《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

4. 为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 $ 3 0 $ 条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策. 根据相关政策,更新 $ 1 $ 条甲类生产线的设备可获得 $ 3 $ 万元的补贴,更新 $ 1 $ 条乙类生产线的设备可获得 $ 2 $ 万元的补贴. 这样更新完这 $ 3 0 $ 条生产线的设备,该企业可获得 $ 7 0 $ 万元的补贴. 该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算,购买更新 $ 1 $ 条甲类生产线的设备比购买更新 $ 1 $ 条乙类生产线的设备需多投入 $ 5 $ 万元,用 $ 2 0 0 $ 万元购买更新甲类生产线的设备数量和用 $ 1 8 0 $ 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,则该企业在获得 $ 7 0 $ 万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备？

答案： 【解析】：
(1) 设该企业甲类生产线有 $ x $ 条，乙类生产线有 $ y $ 条。根据题意，可列出方程组：
$\begin{cases}x + y = 30 \\3x + 2y = 70\end{cases}$
解这个方程组，由第一个方程得 $ y = 30 - x $，代入第二个方程：
$3x + 2(30 - x) = 70 \implies 3x + 60 - 2x = 70 \implies x = 10$
则 $ y = 30 - 10 = 20 $。所以甲类生产线有 10 条，乙类生产线有 20 条。
(2) 设更新 1 条乙类生产线的设备需投入 $ m $ 万元，则更新 1 条甲类生产线的设备需投入 $ m + 5 $ 万元。根据题意：
$\frac{200}{m + 5} = \frac{180}{m}$
交叉相乘得：
$200m = 180(m + 5) \implies 200m = 180m + 900 \implies 20m = 900 \implies m = 45$
所以乙类生产线每条投入 45 万元，甲类生产线每条投入 $ 45 + 5 = 50 $ 万元。
总投入资金为：$ 10 × 50 + 20 × 45 = 500 + 900 = 1400 $ 万元。获得补贴 70 万元后，还需投入 $ 1400 - 70 = 1330 $ 万元。
【答案】：
(1) 甲类 10 条，乙类 20 条；
(2) 1330 万元

5. 阅读材料,完成下列任务：
部分分式分解
我们知道,把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 因式分解的结果中,每一个因式的次数都低于原来多项式的次数. 而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式,我们称为部分分式分解.
例如：将 $ \frac { 6 } { x ^ { 2 } - 9 } $ 部分分式分解的方法如下：
因为 $ x ^ { 2 } - 9 = ( x + 3 ) ( x - 3 ) $,
所以设 $ \frac { 6 } { x ^ { 2 } - 9 } = \frac { A } { x + 3 } + \frac { B } { x - 3 } $.
去分母,得 $ 6 = A ( x - 3 ) + B ( x + 3 ) $.
整理,得 $ 6 = ( A + B ) x + 3 ( B - A ) $.
所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { A + B = 0, } \\ { 3 ( B - A ) = 6. } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { A = - 1, } \\ { B = 1. } \end{array} \right. $
所以 $ \frac { 6 } { x ^ { 2 } - 9 } = \frac { - 1 } { x + 3 } + \frac { 1 } { x - 3 } $,即 $ \frac { 6 } { x ^ { 2 } - 9 } = \frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 1 } { x + 3 } $.
显然,部分分式分解的结果中,各分母的次数都低于原分式分母的次数.
任务：(1)将 $ \frac { 8 } { x ^ { 2 } - 4 x } $ 部分分式分解；
(2)已知 $ \frac { x } { ( x + 2 ) ( x - 1 ) } $ 部分分式分解的结果是 $ \frac { M } { x + 2 } + \frac { N } { x - 1 } $,则 $ M + N $ 的值为______1.
(1)$\frac{2}{x - 4} - \frac{2}{x}$；

答案： 【解析】：
(1) 首先对分母进行因式分解，$x^2 - 4x = x(x - 4)$。
设$\frac{8}{x(x - 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$。
去分母，等式两边同时乘以$x(x - 4)$，得到：$8 = A(x - 4) + Bx$。
整理可得：$8 = (A + B)x - 4A$。
根据等式两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A + B = 0 \\ -4A = 8\end{cases}$
解第二个方程：$-4A = 8$，得$A = -2$。
将$A = -2$代入第一个方程：$-2 + B = 0$，得$B = 2$。
所以$\frac{8}{x^2 - 4x} = \frac{-2}{x} + \frac{2}{x - 4}$，即$\frac{2}{x - 4} - \frac{2}{x}$。
(2) 已知$\frac{x}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{M}{x + 2} + \frac{N}{x - 1}$。
去分母，等式两边同时乘以$(x + 2)(x - 1)$，得到：$x = M(x - 1) + N(x + 2)$。
整理可得：$x = (M + N)x + (-M + 2N)$。
根据等式两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}M + N = 1 \\ -M + 2N = 0\end{cases}$
由第一个方程直接可知$M + N = 1$。
【答案】：
(1)$\frac{2}{x - 4} - \frac{2}{x}$；
(2)1