《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

1. 如图,在平行四边形ABCD中,∠BDC= 90°,E是AD边上的一点,延长BE与CD的延长线交于点F,连结AF.
(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件,并写出证明过程；
①AE= DE；②BF= BC；③AE= BE.
选择条件:①或②
证明过程:
选①$AE=DE$.
证明:∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,
∴ $AB// CD$.
∴ $∠ABE=∠DFE$.
在$\triangle ABE$和$\triangle DFE$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠DFE,\\ ∠AEB=∠DEF,\\ AE=DF,\end{array}\right.$
∴ $\triangle ABE\cong \triangle DFE(AAS)$.
∴ $AB=DF$.
∵ $AB// DF$,$AB=DF$,
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形.
∵ $∠BDC=90^{\circ }$,
∴ $∠BDF=90^{\circ }$.
∴ 四边形$ABDF$是矩形.
选②$BF=BC$.
证明:∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,
∴ $AD=BC$,$AB=CD$,$AB// CF$,即$AB// DF$.
∵ $BF=BC$,$∠BDC=90^{\circ }$,
∴ $DF=CD=AB$.
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形.
∵ $∠BDC=90^{\circ }$,
∴ $∠BDF=９0^{\circ }$.
∴ 四边形$ABDF$是矩形.
(2)若四边形ABDF是矩形,且AB= 3,AD= 5,求四边形ABCF的面积.
四边形ABCF的面积为18.

答案： 1.
(1)选①$AE=DE$.
证明:
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,
∴ $AB// CD$.
∴ $∠ABE=∠DFE$.
在$\triangle ABE$和$\triangle DFE$中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠DFE,\\ ∠AEB=∠DEF,\\ AE=DF,\end{array}\right.$
∴ $\triangle ABE\cong \triangle DFE(AAS)$.
∴ $AB=DF$.
∵ $AB// DF$,$AB=DF$,
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形.
∵ $∠BDC=90^{\circ }$,
∴ $∠BDF=90^{\circ }$.
∴ 四边形$ABDF$是矩形.
选②$BF=BC$.
证明:
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,
∴ $AD=BC$,$AB=DF$,$AB// CF$,即$AB// DF$.
∵ $BF=BC$,$∠BDC=90^{\circ }$,
∴ $DF=CD=AB$.
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形.
∵ $∠BDC=90^{\circ }$,
∴ $∠BDF=９0^{\circ }$.
∴ 四边形$ABDF$是矩形.(选①或②均可)
(2)
∵ 四边形$ABDF$是矩形,
∴ $AB=DF$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AB=3$,
∴ $AB=CD=3$,
∴ $CF=CD+DF=CD+AB=3+3=6$.
在$Rt\triangle BDC$,$BC=AD=5$,$CD=3$,由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
∵ $AB// CF$,
∴ 四边形$ABCF$的面积$=\frac{1}{2}(AB+CF)\cdot BD=\frac{1}{2}× (3+6)× 4=18$.

2. 四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD//BC,OA= OC,AB= BC.
(1)如图1,求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2,AB= AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连结AE,点G在AB上,连结EG交AC于点F,若∠FEC= 75°,在不添加任何辅助线的情况下,写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外),并说明理由.
(1)证明：∵AD//BC,
∴∠ADO=∠CB0,∠DAO∠BCO,又OAOC,
∴△AOD≌△COB(AAS),
∴AD=BC,
∵AD//BCAD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵ABBC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)与线段CE相等的线段有AE、DE、AG、CF.
理由如下：∵四边形ABCD菱形,
∴ABBCADCDAC⊥BD,OB=OD,
∵AB=AC,
∴ABBCADCDAC,
∴△ABC△ADC是等边三角形,
∵CH⊥AD,
∴AH=DH,即CH垂直平分ADAE=DE,
∵AC⊥BD,
∴CH垂直平分ADBD垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴AE=DE=CE,
∵△ADC是等边三角形,CH⊥AD,
∴∠ACH=∠DCH=30°,
∵∠FEC=75°,
∴∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=180°-30°-75°=75°,
∴∠EFC=∠FEC,
∴CF=CE,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=60°+30°=90°,∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120°,
∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=120°-75°=45°,
∵∠BAE=90°,
∴△AEG是等腰直角三角形,
∴AG=AE,
∵AE=CE,
∴AG=CE,
综上,AE=DE=AG=CF=CE.

答案：
(1)证明：
∵AD//BC,
∴∠ADO=∠CB0,∠DAO∠BCO,又OAOC,
∴△AOD≌△COB(AAS),
∴AD=BC,
∵AD//BCAD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵ABBC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)与线段CE相等的线段有AEDEAGCF.
理由如下：
∵四边形ABCD菱形,
∴ABBCADCDAC⊥BD,OB=OD,
∵AB=AC,
∴ABBCADCDAC,
∴△ABC△ADC是等边三角形,
∵CH⊥AD,
∴AH=DH,即CH垂直平分ADAE=DE,
∵AC⊥BD,
∴CH垂直平分ADBD垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴AE=DE=CE,
∵△ADC是等边三角形,CH⊥AD,
∴∠ACH=∠DCH=30°,
∵∠FEC=75°,
∴∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=180°-30°-75°=75°,
∴∠EFC=∠FEC,
∴CF=CE,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=60°+30°=90°,∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120°,
∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=120°-75°=45°,
∵∠BAE=90°,
∴△AEG是等腰直角三角形,
∴AG=AE,
∵AE=CE,
∴AG=CE,
综上,AE=DE=AG=CF=CE.