《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

函数小史
数学史表明,重要数学概念的产生,对数学发展起着不可估量的作用.我们刚学过的函数就是这样的重要概念.
17世纪德国数学家莱布尼茨最早提出了函数的概念.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂,如$x,x^{2},x^{3}$都叫函数.后来,他又用函数表示直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.
1718年,瑞士数学家贝努利把函数定义为:“由某个变量及任意一个常数结合而成的数量.”意思是凡变量$x和常量构成的式子都叫做x$的函数.贝努利所强调的是函数要用公式来表示.
后来数学家觉得函数概念不应该只局限在能用公式来表示.只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化就可以,至于这两个变量的关系是否要用公式来表示,就不作为判别函数的标准.
1755年,瑞士数学家欧拉把函数定义为:“如果某些变量以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.”在欧拉的定义中,就不强调函数要用公式表示了.由于函数不一定要用公式来表示,欧拉曾把画在坐标系中的曲线也叫函数.他认为:“函数是随意画出的一条曲线.”
当时有些数学家对不用公式来表示函数感到很不习惯,有的数学家甚至持怀疑态度.他们把能用公式表示的函数叫“真函数”,把不能用公式表示的函数叫“假函数”.1821年,法国数学家柯西把函数定义为:“在某些变数间存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随之而确定时,则将最初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数.”在柯西的定义中,首先出现了“自变量”一词.
1834年,俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义:“$x$的函数是这样的一个数,它对于每一个$x$都有确定的值,并且随着$x$一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,利用这个关系,可以求出每一个$x$的对应值.
1837年,德国数学家狄里克雷认为怎样去建立$x与y$之间的对应关系是无关紧要的,所以他的定义是:“如果对于$x$的每一个值,$y$总有一个完全确定的值与之对应,那么$y是x$的函数.”这个定义抓住了概念的本质属性,变量$y称为x$的函数,只需有一个法则存在,使得在这个函数取值范围中的每一个$x$值,有一个确定的$y$值和它对应就行了,不管这个法则是公式、图象、表格,还是其他形式.这个定义比前面的定义带有普遍性,为理论研究和实际应用提供了方便.
自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后,函数概念发展成一个集合到另一个集合的映射,通过集合把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化.
任务:认真梳理本文,写一篇短文,用不超过300字的篇幅加以概括.

答案： 【解析】：本文梳理了函数概念的发展历程。17世纪莱布尼茨最早提出函数概念，初指幂，后扩展到曲线横纵坐标；1718年贝努利强调函数需用公式表示；1755年欧拉定义不局限于公式，包括曲线；1821年柯西引入“自变量”；1834年罗巴契夫斯基指出对应关系必要性；1837年狄里克雷给出普遍定义，强调x与y的确定对应，不论法则形式；集合论出现后，函数发展为集合间映射。
【答案】：函数概念的发展历经多个阶段。17世纪莱布尼茨最早提出，初指幂，后扩至曲线坐标。1718年贝努利强调公式表示，1755年欧拉打破此限制，含曲线。1821年柯西引入“自变量”，1834年罗巴契夫斯基指出对应关系必要性。1837年狄里克雷给出普遍定义，强调x与y的确定对应，不论法则形式。集合论出现后，函数发展为集合间映射。