《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

5. 如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$\angle ACB = 90^{\circ}$,分别以$AB$,$AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD$($\angle BAD = 90^{\circ}$)和等腰直角三角形$ACE$($\angle CAE = 90^{\circ}$),$G为BD$的中点,连结$CG$,$BE$,$CD$,$BE与CD交于点F$。
(1)求证：四边形$ACGD$是平行四边形；
(2)线段$BE和线段CD$有什么数量关系？请说明理由；
(3)已知$BC = \sqrt{2}$,求$EF$的长度(结果用含根号的式子表示)。

答案：
5.
(1)证明:$\triangle ABC$和$\triangle ABD$都是等腰直角三角形,
$\therefore \angle CAB=\angle ABD=45^{\circ}$,$BD=\sqrt{2}AB=2BC=2AC$.
$\therefore AC// BD$.
又$\because G$为$BD$的中点,
$\therefore BD=2DG$.
$\therefore AC=DG$.
又$\because AC// DG$,
$\therefore$ 四边形$ACGD$为平行四边形.
(2)$CD=BE$.理由如下:
$\because \triangle AEC$和$\triangle ABD$都是等腰直角三角形,$\angle CAE=90^{\circ}$,$\angle BAD=90^{\circ}$,
$\therefore AE=AC$,$AB=AD$,$\angle EAB=\angle EAC+\angle CAB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$,$\angle CAD=\angle DAB+\angle BAC=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$.
$\therefore \angle EAB=\angle CAD$.
在$\triangle DAC$和$\triangle BAE$中,$\left\{\begin{array}{l}AD=AB,\\ \angle CAD=\angle EAB,\\ AC=AE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DAC\cong\triangle BAE(SAS)$.
$\therefore CD=BE$.
(3)$\because \triangle DAC\cong\triangle BAE$,
$\therefore \angle ACD=\angle AEB$.
$\because 180^{\circ}-\angle ACD-\angle EFC=180^{\circ}-\angle AEB-\angle EAC$,
$\therefore \angle EFC=\angle EAC=90^{\circ}$,即$CF\perp BE$.
$\because BC=\sqrt{2}$,
$\therefore BD=2\sqrt{2}$,$AE=AC=\sqrt{2}$,$CE=2$.
$\therefore CD=\sqrt{BC^{2}+BD^{2}}=\sqrt{10}$.
由
(2)知$CD=BE$,
$\therefore BE=\sqrt{10}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图,过点$E$作$EM\perp BC$,交$BC$的延长线于点$M$.
$\because \angle EAC=\angle ACB=\angle EMC=90^{\circ}$,
$\therefore AE// CM$,$EM// AC$.
$\therefore$ 四边形$ACME$为平行四边形.
$\therefore EM=AC=\sqrt{2}$.
$\because \frac{1}{2}BC\cdot EM=\frac{1}{2}BE\cdot CF$,即$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{10}× CF$,
$\therefore CF=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$.