《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

1. 下面是小星同学进行分式化简的过程：
(1)小星同学的化简过程从第______二步开始出现错误；(2)请写出正确的化简过程,并从 - 1, 0, 1, 2 中选择合适的数代入求值.
解：原式$=(\frac{2x - 1}{x - 1}-\frac{x - 1}{x - 1})÷\frac{x}{x^{2}-1}$
$=\frac{2x - 1-(x - 1)}{x - 1}÷\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2x - 1-x + 1}{x - 1}\cdot\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}$
$=\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}$
$=x + 1$。
因为当$x=-1$，$x = 0$，$x = 1$时，原式的分母为$0$，分式无意义，所以取$x = 2$。
当$x = 2$时，$x + 1=2 + 1=3$。

答案： 1. （1）
小星同学的化简过程从第**二**步开始出现错误，在去括号时$-(x - 1)$应为$-x+1$，而不是$-x - 1$。
2. （2）
正确的化简过程：
解：
原式$=(\frac{2x - 1}{x - 1}-\frac{x - 1}{x - 1})÷\frac{x}{x^{2}-1}$
$=\frac{2x - 1-(x - 1)}{x - 1}÷\frac{x}{(x - 1)(x + 1)}$
$=\frac{2x - 1-x + 1}{x - 1}\cdot\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}$
$=\frac{x}{x - 1}\cdot\frac{(x - 1)(x + 1)}{x}$
$=x + 1$。
因为当$x=-1$，$x = 0$，$x = 1$时，原式的分母为$0$，分式无意义，所以取$x = 2$。
当$x = 2$时，$x + 1=2 + 1=3$。
综上，（1）答案为二；（2）化简结果为$x + 1$，当$x = 2$时，值为$3$。

2. 学习分式方程时,老师给出了如下问题：
第 1 9 届亚运会于 2 0 2 3 年 9 月 2 3 日在中国杭州正式开幕,“智能”作为杭州亚运会的办赛理念之一贯穿了办赛、参赛、观赛的方方面面. 为保障赛事场馆的正常有序布置,某搬运公司将 A,B 两种机器人都用来搬运体育器材,A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 件,A 型机器人搬运 900 件所用时间与 B 型机器人搬运 600 件所用时间相等,两种机器人每小时分别搬运多少件体育器材？
两位同学解答上面问题列出的方程如下：
同学甲：$\frac {900}{x}=\frac {600}{x-30}$.
同学乙：$\frac {900}{y}-\frac {600}{y}=30$.
根据以上信息回答下列问题：
(1)选择合适的选项填在横线上：
同学甲所列方程中的 $x$ 表示A,同学乙所列方程中的 $y$ 表示C.
(A)$A$ 型机器人每小时搬运体育器材的件数
(B)$B$ 型机器人每小时搬运体育器材的件数
(C)$A$ 型机器人搬运体育器材 900 件所用的时间
(D)$A$ 型机器人搬运体育器材 600 件所用的时间
(2)你喜欢同学甲(填“甲”或“乙”)所列的方程,该方程的等量关系为A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等；
(3)解(2)中你所选择的方程,并完整解答老师给出的问题.
解：选择同学甲的方程$\frac {900}{x}=\frac {600}{x-30}$，
交叉相乘得$900(x-30)=600x$，
展开：$900x-27000=600x$，
移项：$900x-600x=27000$，
$300x=27000$，
解得$x=90$，
经检验，$x=90$是原方程的解且符合题意，
则$B$型机器人每小时搬运$90-30=60$件，
答：$A$型机器人每小时搬运90件，$B$型机器人每小时搬运60件.

答案： 【解析】：
(1)同学甲的方程中，$x$出现在$A$型机器人搬运量的分母，且$x - 30$为$B$型机器人的搬运量，结合“A型机器人比B型机器人每小时多搬运30件”，可知$x$表示$A$型机器人每小时搬运体育器材的件数，选A；同学乙的方程中，$y$为时间，结合“A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等”，可知$y$表示该相等时间，即$A$型机器人搬运体育器材900件所用的时间，选C。
(2)选择同学甲的方程，等量关系为“A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等”。
(3)解同学甲的方程$\frac{900}{x} = \frac{600}{x - 30}$，交叉相乘得$900(x - 30) = 600x$，展开：$900x - 27000 = 600x$，移项：$900x - 600x = 27000$，$300x = 27000$，解得$x = 90$。经检验，$x = 90$是原方程的解且符合题意。则$B$型机器人每小时搬运$90 - 30 = 60$件。
【答案】：
(1)A；C
(2)甲；A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等
(3)A型机器人每小时搬运90件，B型机器人每小时搬运60件