《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

4. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$OA = 5cm$,$E$,$F为直线BD$上的两个动点(点$E$,$F始终在□ ABCD$的外面),连结$AE$,$CE$,$CF$,$AF$。
(1)若$DE = \frac{1}{2}OD$,$BF = \frac{1}{2}OB$,
①求证：四边形$AFCE$为平行四边形；
②若$CA平分\angle BCD$,$\angle AEC = 60^{\circ}$,求四边形$AFCE$的周长。
(2)若$DE = \frac{1}{3}OD$,$BF = \frac{1}{3}OB$,则四边形$AFCE$还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由。若$DE = \frac{1}{n}OD$,$BF = \frac{1}{n}OB$呢？请直接写出结论。

答案： 4.
(1)①证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore OA=OC$,$OB=OD$.
$\because DE=\frac{1}{2}OD$,$BF=\frac{1}{2}OB$,
$\therefore DE=BF$.
$\therefore OD+DE=OB+BF$,即$OE=OF$.
$\therefore$ 四边形$AFCE$为平行四边形.
②$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$.
$\therefore \angle DAC=\angle BCA$.
$\because CA$平分$\angle BCD$,
$\therefore \angle BCA=\angle DCA$.
$\therefore \angle DCA=\angle DAC$.
$\therefore AD=CD$.
又$\because OA=OC$,
$\therefore OD\perp AC$,即$OE\perp AC$.
$\therefore OE$是$AC$的垂直平分线.
$\therefore AE=CE$.
又$\because \angle AEC=60^{\circ}$,
$\therefore \triangle ACE$是等边三角形.
$\therefore AE=CE=AC=2OA=10cm$.
$\therefore$ 四边形$AFCE$的周长为$2×(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm)$.
(2)若$DE=\frac{1}{3}OD$,$BF=\frac{1}{3}OB$,则四边形$AFCE$是平行四边形.理由如下:
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore OA=OC$,$OB=OD$.
$\because DE=\frac{1}{3}OD$,$BF=\frac{1}{3}OB$,
$\therefore DE=BF$.
$\therefore OB+BF=OD+DE$,即$OF=OE$.
$\therefore$ 四边形$AFCE$为平行四边形.
若$DE=\frac{1}{n}OD$,$BF=\frac{1}{n}OB$,则四边形$AFCE$为平行四边形.