《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社八年级综合D版》

2. 尺规作图问题：
如图1,$E是□ ABCD边AD$上一点(不包含点$A$,$D$),连结$CE$。用尺规作$AF// CE$,$F是边BC$上一点。
小明：如图2.以点$C$为圆心,$AE$长为半径作弧,交$BC于点F$,连结$AF$,则$AF// CE$。
小丽：以点$A$为圆心,$CE$长为半径作弧,交$BC于点F$,连结$AF$,则$AF// CE$。
小明：小丽,你的作法有问题。
小丽：哦……我明白了！
(1)按照小明的作法,求证：$AF// CE$；
证明:根据小明的作法知,$CF=AE$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,即$AE// CF$.
$\therefore$ 四边形$AFCE$是平行四边形,
$\therefore AF// CE$.
(2)指出小丽作法中存在的问题。
以点$A$为圆心,$CE$长为半径作弧,交$BC$于点$F$,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.所以小丽的作法有问题.

答案： 2.
(1)证明:根据小明的作法知,$CF=AE$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD// BC$,即$AE// CF$.
$\therefore$ 四边形$AFCE$是平行四边形,
$\therefore AF// CE$.
(2)以点$A$为圆心,$CE$长为半径作弧,交$BC$于点$F$,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.所以小丽的作法有问题.

3. 在$□ ABCD$中,$O是对角线AC$的中点,要在$AC上找两点E$,$F$,使四边形$BEDF$为平行四边形。某同学给出两种方案,如图所示。


方案①：如图1,在对角线$AC上截取AE = CF$；
方案②：如图2,过点$B作BE\perp AC于点E$,过点$D作DF\perp AC于点F$。
请回答下列问题：
(1)以上方案能得到四边形$BEDF$为平行四边形的是____(填序号),请给出证明(若两种方案都满足要求,则任选一种证明)；若不能,请说明理由。
(2)若$EF = 2AE$,$S_{\triangle AED} = 1$,在你选择的方案中求$□ ABCD$的面积。

答案：
3.
(1)①② 证明如下:
方案①:如图1,连结$BD$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$O$是对角线$AC$的中点,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
$\therefore AB// CD$,$AB=CD$,$OA=OC$,$O$是对角线$BD$的中点.
$\therefore OB=OD$.
$\because AE=CF$,
$\therefore OA-AE=OC-CF$,即$OE=OF$.
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形.
方案②:$\because BE\perp AC$,$DF\perp AC$,
$\therefore BE// DF$,$\angle AEB=\angle CFD=90^{\circ}$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB// CD$,$AB=CD$.
$\therefore \angle BAE=\angle DCF$.
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中,
$\left\{\begin{array}{l}\angle AEB=\angle CFD,\\ \angle BAE=\angle DCF,\\ AB=CD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong\triangle CDF(AAS)$.
$\therefore BE=DF$.
$\therefore$ 四边形$BEDF$是平行四边形.
(2)由
(1)得$OE=OF$,
$\therefore EF=2OE$.
$\because EF=2AE$,
$\therefore OE=AE$.
$\therefore OE=AE=CF=OF$.
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}=4S_{\triangle AED}=4$.
$\therefore □ ABCD$的面积是$4×2=8$.