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2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学
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16. 求函数$f(x)= \frac {\sqrt {2x-x^{2}}}{lg(2x-1)}$的定义域.
答案：
【解析】：要使函数$f(x)=\frac{\sqrt{2x - x^{2}}}{\lg(2x - 1)}$有意义，则需满足以下条件：
- 对于二次根式$\sqrt{2x - x^{2}}$，被开方数须非负，即$2x - x^{2}\geqslant0$。
将$2x - x^{2}\geqslant0$变形为$x^{2}-2x\leqslant0$，因式分解得$x(x - 2)\leqslant0$，其解为$0\leqslant x\leqslant2$。
- 对于对数$\lg(2x - 1)$，真数须大于$0$，即$2x - 1\gt0$，解得$x\gt\frac{1}{2}$。
- 因为分母不能为$0$，所以$\lg(2x - 1)\neq0$。
由$\lg(2x - 1)\neq0$，即$2x - 1\neq1$，解得$x\neq1$。
综合以上三个条件，取交集可得$\frac{1}{2}\lt x\leqslant2$且$x\neq1$。
【答案】：$(\frac{1}{2},1)\cup(1,2]$
- 对于二次根式$\sqrt{2x - x^{2}}$，被开方数须非负，即$2x - x^{2}\geqslant0$。
将$2x - x^{2}\geqslant0$变形为$x^{2}-2x\leqslant0$，因式分解得$x(x - 2)\leqslant0$，其解为$0\leqslant x\leqslant2$。
- 对于对数$\lg(2x - 1)$，真数须大于$0$，即$2x - 1\gt0$，解得$x\gt\frac{1}{2}$。
- 因为分母不能为$0$，所以$\lg(2x - 1)\neq0$。
由$\lg(2x - 1)\neq0$，即$2x - 1\neq1$，解得$x\neq1$。
综合以上三个条件，取交集可得$\frac{1}{2}\lt x\leqslant2$且$x\neq1$。
【答案】：$(\frac{1}{2},1)\cup(1,2]$
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