《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

15. 计算：$[(27)^{\frac {1}{3}}\sqrt {(\frac {1}{3})^{2}}-log_{3}\frac {1}{9}×5^{log_{5}2}+(\sqrt {2})^{0}]×64^{\frac {1}{2}}$。

答案： 【解析】：
本题可根据指数幂的运算法则、对数的运算法则逐步化简式子中的各项，再进行计算。
- **步骤一：分别化简式子中的各项。**
**化简$(27)^{\frac {1}{3}}\sqrt {(\frac {1}{3})^{2}}$：**
根据指数幂的运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对$27^{\frac{1}{3}}$进行化简，因为$27 = 3^3$，所以$27^{\frac{1}{3}}=(3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3×\frac{1}{3}} = 3$。
$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\vert\frac{1}{3}\vert=\frac{1}{3}$。
则$(27)^{\frac {1}{3}}\sqrt {(\frac {1}{3})^{2}} = 3×\frac{1}{3}=1$。
**化简$\log_{3}\frac {1}{9}×5^{\log_{5}2}$：**
根据对数运算法则$\log_a a^n = n$，对$\log_{3}\frac {1}{9}$进行化简，因为$\frac{1}{9}=3^{-2}$，所以$\log_{3}\frac {1}{9}=\log_{3}3^{-2} = -2$。
根据对数恒等式$a^{\log_{a}N}=N$（$a\gt0$且$a\neq1$，$N\gt0$），可得$5^{\log_{5}2}=2$。
则$\log_{3}\frac {1}{9}×5^{\log_{5}2} = -2×2 = -4$。
**化简$(\sqrt {2})^{0}$：**
根据零指数幂的运算法则$a^0 = 1$（$a\neq0$），可得$(\sqrt {2})^{0}=1$。
**化简$64^{\frac {1}{2}}$：**
因为$64 = 8^2$，所以$64^{\frac{1}{2}}=(8^2)^{\frac{1}{2}} = 8^{2×\frac{1}{2}} = 8$。
- **步骤二：将化简后的各项代入原式进行计算。**
将上述化简结果代入$[(27)^{\frac {1}{3}}\sqrt {(\frac {1}{3})^{2}}-\log_{3}\frac {1}{9}×5^{\log_{5}2}+(\sqrt {2})^{0}]×64^{\frac {1}{2}}$可得：
$(1 - (-4) + 1)× 8=(1 + 4 + 1)× 8 = 6× 8 = 48$。
【答案】：$48$

16. 求函数$f(x)= \frac {\sqrt {3^{x}-27}}{log_{3}(x+1)}$的定义域。

答案： 【解析】：要使函数$f(x)=\frac{\sqrt{3^{x}-27}}{\log_{3}(x + 1)}$有意义，则需满足：
- 对于二次根式，被开方数须大于等于$0$，即$3^{x}-27\geq0$，将$27$变形为$3^{3}$，则$3^{x}-3^{3}\geq0$，因为指数函数$y = 3^{x}$是增函数，所以$3^{x}\geq3^{3}$，可得$x\geq3$。
- 对于对数函数，真数须大于$0$，即$x + 1\gt0$，解得$x\gt - 1$。
- 分母不能为$0$，即$\log_{3}(x + 1)\neq0$，因为$\log_{a}1 = 0$（$a\gt0$且$a\neq1$），所以$x + 1\neq1$，解得$x\neq0$。
综合以上条件，取交集可得$x\geq3$，所以函数$f(x)$的定义域为$[3,+\infty)$。
【答案】：$[3,+\infty)$