《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

6.若直线 $ 2x + y + 5 = 0 $ 与圆 $ x^2 + y^2 = m(m ＞ 0) $ 相切,则 $ m $ 的值为(B).
A.1 B.5 C.$ \sqrt{3} $ D.2

答案： B

7.若直线 $ 2x - y + a = 0 $ 平分圆 $ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 $ 的周长,则 $ a $ 的值为(B).
A.2 B.-1 C.1 D.-2

答案： B

8.过圆 $ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ 内的点 $ M(1,2) $ 作一条直线 $ l $,使它被该圆截得的线段最短,则直线 $ l $ 的方程是(B).
A.$ x + y - 3 = 0 $ B.$ x - y + 1 = 0 $
C.$ x + y - 4 = 0 $ D.$ x - 4y - 3 = 0 $

答案： B

9.已知直线 $ l $：$ kx - y + \sqrt{2} = 0 $,圆 $ O $：$ x^2 + y^2 = 4 $,则直线 $ l $ 与圆 $ O $ 的位置关系是(A).
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定

答案： A

10.已知圆 $ C $ 在第一象限与 $ x $ 轴、$ y $ 轴和直线 $ x - y - 4 = 0 $ 都相切,则圆 $ C $ 的半径 $ r = $(D).
A.$ 2 - \sqrt{2} $ B.$ 2 + \sqrt{2} $ C.$ \sqrt{2} $ D.$ 2\sqrt{2} $

答案： D

11.若直线 $ y = x + b $ 与圆 $ O $：$ x^2 + y^2 = 2 $ 有公共点,则 $ b $ 的取值范围是$[-2,2]$.

答案： $[-2,2]$

12.已知圆 $ C $：$ (x - 2k - 1)^2 + (y - k)^2 = 4 $ 与 $ x $ 轴和 $ y $ 轴均相切,则实数 $ k $ 的值是______无解.

答案： 无解

13.过点 $ P(-1,-1) $ 且与圆 $ x^2 + y^2 = 1 $ 相切的直线方程为$x = - 1$或$y=-1$.

答案： $x = - 1$或$y=-1$

14.当 $ k $ 为何值时,直线 $ l $：$ kx - y + 2 = 0 $ 与圆 $ C $：$ (x - 1)^2 + y^2 = 1 $ 相切？$ k = -\frac{3}{4} $

答案： 【解析】：本题可根据直线与圆相切的性质，即圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于$k$的方程，进而求解$k$的值。
- **步骤一：确定圆$C$的圆心坐标和半径$r$。**
根据圆的标准方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径），可知圆$C$：$(x - 1)^2 + y^2 = 1$的圆心坐标为$(1,0)$，半径$r = 1$。
- **步骤二：计算圆心$(1,0)$到直线$l$：$kx - y + 2 = 0$的距离$d$。**
点$(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$）的距离公式为$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。
对于直线$l$：$kx - y + 2 = 0$，其中$A = k$，$B = -1$，$C = 2$，圆心坐标为$(1,0)$，即$x_0 = 1$，$y_0 = 0$，则圆心$(1,0)$到直线$l$的距离$d = \frac{\vert k× 1 + (-1)× 0 + 2\vert}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \frac{\vert k + 2\vert}{\sqrt{k^2 + 1}}$。
- **步骤三：根据直线与圆相切的性质列方程求解$k$。**
因为直线$l$与圆$C$相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即$d = r$，那么$\frac{\vert k + 2\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$。
等式两边同时平方可得$(k + 2)^2 = k^2 + 1$，展开括号得$k^2 + 4k + 4 = k^2 + 1$，移项化简可得$4k = -3$，解得$k = -\frac{3}{4}$。
【答案】：$k = -\frac{3}{4}$