《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

14. 已知直线的倾斜角为 $ \frac{2π}{3} $,且直线在 $ x $ 轴上的截距为 3,求该直线的一般式方程.

答案： 【解析】：
1. 首先，根据直线倾斜角求斜率：
已知直线的倾斜角$\alpha=\frac{2\pi}{3}$，根据直线斜率$k = \tan\alpha$，可得$k=\tan\frac{2\pi}{3}=\tan( \pi-\frac{\pi}{3})=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$。
2. 然后，根据直线在$x$轴上的截距确定直线上一点：
因为直线在$x$轴上的截距为$3$，即直线过点$(3,0)$。
3. 接着，根据点斜式方程求直线方程：
直线的点斜式方程为$y - y_1=k(x - x_1)$（其中$(x_1,y_1)$为直线上一点的坐标，$k$为直线的斜率）。
已知$k = -\sqrt{3}$，$(x_1,y_1)=(3,0)$，则直线的点斜式方程为$y-0 = -\sqrt{3}(x - 3)$。
4. 最后，将点斜式方程化为一般式方程：
对$y=-\sqrt{3}(x - 3)$进行化简，展开括号得$y=-\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}$。
移项可得$\sqrt{3}x+y-3\sqrt{3}=0$。
【答案】：$\sqrt{3}x + y-3\sqrt{3}=0$

15. 已知直线 $ x + 3y - m = 0 $ 过点 $ (6,1) $,分别求出它在 $ x $ 轴和 $ y $ 轴上的截距.

答案： 【解析】：因为直线$x + 3y - m = 0$过点$(6,1)$，将点$(6,1)$代入直线方程可得：$6 + 3×1 - m = 0$，即$9 - m = 0$，解得$m = 9$，所以直线方程为$x + 3y - 9 = 0$。
求直线在$x$轴上的截距时，令$y = 0$，则$x - 9 = 0$，解得$x = 9$，即直线在$x$轴上的截距为$9$。
求直线在$y$轴上的截距时，令$x = 0$，则$3y - 9 = 0$，$3y = 9$，解得$y = 3$，即直线在$y$轴上的截距为$3$。
【答案】：$9$；$3$

16. 已知直线 $ mx + ny - 6 = 0 $ 在 $ y $ 轴上的截距为 3,且斜率为 -2,求 $ m - n $ 的值.

答案： 【解析】：
1. 首先将直线方程化为斜截式：
已知直线方程$mx + ny-6 = 0$，移项可得$ny=-mx + 6$。
当$n\neq0$时，两边同时除以$n$，得到$y=-\frac{m}{n}x+\frac{6}{n}$。
2. 然后根据直线在$y$轴上的截距和斜率的定义来确定$m$，$n$的值：
**根据直线在$y$轴上的截距求$n$的值**：
对于直线$y = kx + b$（$k$为斜率，$b$为在$y$轴上的截距），已知直线$y=-\frac{m}{n}x+\frac{6}{n}$在$y$轴上的截距为$3$，所以$\frac{6}{n}=3$。
解方程$\frac{6}{n}=3$，两边同时乘以$n$得$6 = 3n$，解得$n = 2$。
**根据直线的斜率求$m$的值**：
已知直线$y=-\frac{m}{n}x+\frac{6}{n}$的斜率为$-2$，所以$-\frac{m}{n}=-2$。
把$n = 2$代入$-\frac{m}{n}=-2$中，得到$-\frac{m}{2}=-2$。
两边同时乘以$-2$，解得$m = 4$。
3. 最后计算$m - n$的值：
把$m = 4$，$n = 2$代入$m - n$，可得$m - n=4 - 2=2$。
【答案】：$2$