《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

15.已知直线 $ l $：$ \sqrt{2}x - y + 3 = 0 $,圆 $ C $：$ x^2 + y^2 = 2 $,若 $ P $ 是圆 $ C $ 上任意一点,求点 $ P $ 到直线 $ l $ 距离的最大值.$\sqrt{3} + \sqrt{2}$

答案： 【解析】：本题可先求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，进而求出圆上一点到直线距离的最大值。
- **步骤一：确定圆$C$的圆心坐标和半径$r$。**
根据圆的标准方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径），已知圆$C$的方程为$x^2 + y^2 = 2$，则圆心$C(0,0)$，半径$r = \sqrt{2}$。
- **步骤二：计算圆心$C$到直线$l$的距离$d$。**
点$(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$）的距离公式为$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。
已知直线$l$：$\sqrt{2}x - y + 3 = 0$，圆心$C(0,0)$，将$x_0 = 0$，$y_0 = 0$，$A = \sqrt{2}$，$B = -1$，$C = 3$代入距离公式可得：
$d = \frac{\vert\sqrt{2} × 0 - 0 + 3\vert}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
- **步骤三：求出点$P$到直线$l$距离的最大值。**
因为点$P$是圆$C$上任意一点，所以点$P$到直线$l$距离的最大值为圆心$C$到直线$l$的距离$d$加上圆的半径$r$，即$d + r = \sqrt{3} + \sqrt{2}$。
【答案】：$\sqrt{3} + \sqrt{2}$

16.求圆心为 $ (1,1) $ 且与直线 $ 2x + y - 8 = 0 $ 相切的圆的标准方程.

答案： 【解析】：本题可先根据圆与直线相切的性质求出圆的半径，再根据圆的标准方程的形式写出圆的标准方程。
- **步骤一：求圆的半径$r$。**
已知圆与直线$2x + y - 8 = 0$相切，根据圆与直线相切的性质可知，圆心到直线的距离等于圆的半径。
点$(x_0,y_0)$到直线$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$）的距离公式为$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。
已知圆心坐标为$(1,1)$，直线方程为$2x + y - 8 = 0$，其中$A = 2$，$B = 1$，$C = -8$，$x_0 = 1$，$y_0 = 1$，将这些值代入距离公式可得：
$r = \frac{\vert 2× 1 + 1× 1 - 8\vert}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{\vert 2 + 1 - 8\vert}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{\vert -5\vert}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
- **步骤二：写出圆的标准方程。**
圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
已知圆心坐标为$(1,1)$，半径$r = \sqrt{5}$，将其代入圆的标准方程可得：
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
【答案】：$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5$