《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

11. 袋子中装有 5 个完全相同的球,号码分别为 1,2,3,4,5,现从中任取一个球,则样本空间 $ \Omega= $$\{1,2,3,4,5\}$.

答案： $\{1,2,3,4,5\}$

12. 投掷一颗均匀的正方体骰子(六个面分别标有数字 1、2、3、4、5、6)一次,朝上的数字小于 4 的概率是$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

13. 从编号为 1,2,3,4,5 的 5 个小球中任选两个,则两个小球编号相连的概率为$\frac{2}{5}$.

答案： $\frac{2}{5}$

14. 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 连续抛掷 2 枚硬币,观察落地后这 2 枚硬币是正面朝上还是反面朝上；
(2) 从集合 $ A= \{2,3,5,7\} $ 中任取 3 个元素.

答案： 【解析】：
(1) 每枚硬币都有正面（记为正）和反面（记为反）两种可能结果。连续抛掷$2$枚硬币，第一枚硬币的结果与第二枚硬币的结果相互独立。根据分步乘法计数原理，所有可能的结果数为$2×2 = 4$种。所以样本空间是所有可能结果的集合，即$\Omega_1=\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\}$。
(2) 从集合$A = \{2,3,5,7\}$中任取$3$个元素，根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，这里$n = 4$，$k=3$，$C_{4}^3=\frac{4!}{3!(4 - 3)!}=\frac{4!}{3!×1!}=4$种。这些组合分别是$\{2,3,5\}$，$\{2,3,7\}$，$\{2,5,7\}$，$\{3,5,7\}$，所以样本空间$\Omega_2=\{\{2,3,5\},\{2,3,7\},\{2,5,7\},\{3,5,7\}\}$。
【答案】：
(1)$\{(\text{正},\text{正}),(\text{正},\text{反}),(\text{反},\text{正}),(\text{反},\text{反})\}$；
(2)$\{\{2,3,5\},\{2,3,7\},\{2,5,7\},\{3,5,7\}\}$

15. 已知有三个人甲、乙、丙站成一排合影留念,求甲、乙两人恰好相邻的概率.

答案： 【解析】：首先，计算三个人甲、乙、丙站成一排的所有排列情况。根据排列数公式$A_{n}^m=\frac{n!}{(n - m)!}$，$n=3$，$m = 3$，则$A_{3}^3=\frac{3!}{(3 - 3)!}=3×2×1 = 6$种，这$6$种排列分别为（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）。
然后，计算甲、乙两人恰好相邻的情况。把甲、乙看成一个整体（捆绑法），与丙全排列，同时甲、乙两人之间也有顺序，那么甲、乙相邻的情况有$A_{2}^2× A_{2}^1$种。$A_{2}^2=\frac{2!}{(2 - 2)!}=2×1 = 2$（甲、乙两人的排列顺序），$A_{2}^1=\frac{2!}{(2 - 1)!}=2$（甲乙整体与丙的排列顺序），所以甲、乙相邻的情况有$2×2 = 4$种，即（甲乙丙）、（乙甲丙）、（丙甲乙）、（丙乙甲）。
最后，根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$包含的基本事件数），可得甲、乙两人恰好相邻的概率$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】：$\frac{2}{3}$