《2025年暑假生活电子工业出版社中职高一数学》

15. 已知点 $ A(2,4) $,$ B(1,3) $,求以 $ AB $ 为直径的圆的标准方程.

答案： 【解析】：
本题可先根据中点坐标公式求出圆心坐标，再根据两点间距离公式求出半径，最后根据圆的标准方程的形式写出圆的方程。
- **步骤一：求圆心坐标**
若圆以线段$AB$为直径，则圆心为线段$AB$的中点。
设圆心坐标为$(x_0,y_0)$，对于两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，它们的中点坐标公式为$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$。
已知$A(2,4)$，$B(1,3)$，将其代入中点坐标公式可得：
$x_0 = \frac{2 + 1}{2}=\frac{3}{2}$
$y_0 = \frac{4 + 3}{2}=\frac{7}{2}$
即圆心坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$。
- **步骤二：求半径$r$**
半径$r$为线段$AB$长度的一半，根据两点间距离公式，对于两点$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，两点间的距离$\vert MN\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
所以$\vert AB\vert=\sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 3)^2}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$，则半径$r = \frac{\vert AB\vert}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
- **步骤三：写出圆的标准方程**
圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
将圆心坐标$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$和半径$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$代入圆的标准方程可得：
$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{7}{2})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$
【答案】：$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{7}{2})^2 = \frac{1}{2}$

16. 求圆心在直线 $ x - y = 0 $ 上,且过点 $ M(0,-2) $ 和 $ N(2,0) $ 的圆的方程.

答案： 【解析】：
设圆的标准方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$。
- **步骤一：根据已知条件列方程**
因为圆心$(a,b)$在直线$x - y = 0$上，所以$a - b = 0$，即$a = b$。
圆过点$M(0,-2)$和$N(2,0)$，将点$M(0,-2)$代入圆的方程可得$(0 - a)^{2}+(-2 - b)^{2}=r^{2}$，即$a^{2}+(b + 2)^{2}=r^{2}$。
将点$N(2,0)$代入圆的方程可得$(2 - a)^{2}+(0 - b)^{2}=r^{2}$，即$(a - 2)^{2}+b^{2}=r^{2}$。
- **步骤二：求解$a$，$b$，$r$的值**
由$a^{2}+(b + 2)^{2}=r^{2}$和$(a - 2)^{2}+b^{2}=r^{2}$可得：
$a^{2}+(b + 2)^{2}=(a - 2)^{2}+b^{2}$
展开式子得$a^{2}+b^{2}+4b + 4=a^{2}-4a + 4 + b^{2}$
两边$a^{2}$和$b^{2}$消去，得到$4b + 4=-4a + 4$，即$a + b = 0$。
又因为$a = b$，将$a = b$代入$a + b = 0$，可得$2a = 0$，解得$a = 0$，那么$b = 0$。
把$a = 0$，$b = 0$代入$a^{2}+(b + 2)^{2}=r^{2}$，可得$r^{2}=0^{2}+(0 + 2)^{2}=4$。
- **步骤三：写出圆的方程**
将$a = 0$，$b = 0$，$r^{2}=4$代入圆的标准方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$，得到圆的方程为$x^{2}+y^{2}=4$。
【答案】：$x^{2}+y^{2}=4$